正弦定理「a:b:c = sinA:sinB:sinC」はなぜ成り立つ？東工大・一橋卒が教える図形問題の鉄則

正弦定理により$$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$$コーチからのメッセージ:「公式として丸暗記していませんか？ いきなり解説を読む前に、『なぜこの式が成り立つのか？』 を、正弦定理の基本式から3分だけ自分で導き出してみましょう。その一手間が、応用力に変わりますよ」【Sクラスコーチの解説】正弦定理における「辺と角の比」の重要性導入（視点の提示）こんにちは、Costuba代表コーチです。この式 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ を見たとき、東工大・一橋卒の私ならまずどこに着目するか。それは、この式が「長さの世界（辺）」と「角度の世界（サイン）」をつなぐ翻訳機であるという点です。幾何学の問題において、「辺の長さの比」を求めたいのに「角度」の情報しかない、あるいはその逆のパターンに出くわすことがよくあります。そんなとき、この式を使えばスムーズに情報を変換できるのです。単なる暗記項目ではなく、図形問題を解くための強力な武器として捉え直しましょう。使う武器（公式・定理）この式を導くための「親」となるのが、教科書で最初に習う正弦定理の基本形です。【正弦定理】$\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると、以下の関係が成り立ちます。$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$道具（公式）を知っている生徒さんは、次のステップへ進んでください。ここから、画像にある「比の式」を導きます。思考のプロセス（Step by Step）では、論理の飛躍がないように丁寧に導出していきましょう。文系の生徒さんが苦手としがちな「比の計算」も、分解すれば簡単です。Step 1: 各辺の長さを $R$ と $\sin$ で表す正弦定理の式は、3つの部分に分解できます。それぞれを $= 2R$ と結びつけて変形します。$$a = 2R \sin A$$$$b = 2R \sin B$$$$c = 2R \sin C$$Step 2: 辺の比 $a : b : c$ を作るこれらを比の形に並べてみましょう。$$a : b : c = 2R \sin A : 2R \sin B : 2R \sin C$$Step 3: 共通因数で割る（約分）比の性質として、すべての項に共通する数で割っても比の値は変わりません。ここでは、すべての項に $2R$ （外接円の直径）が含まれていますね。$ R > 0 $ なので、 $2R$ で割って約分します。すると、画像の式が導かれます。$$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$$【コーチの補足】ここで注意してほしいのは、「 $a : b : c = A : B : C$ （角度そのものの比）」ではない ということです。例えば、$ A = 30^\circ, B = 60^\circ, C = 90^\circ $ のとき、角度の比は $1 : 2 : 3$ ですが、辺の比は $\sin 30^\circ : \sin 60^\circ : \sin 90^\circ = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1 = 1 : \sqrt{3} : 2$ となり、全く異なります。このひっかけには十分注意してくださいね。解答正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ より、$a = 2R \sin A, \quad b = 2R \sin B, \quad c = 2R \sin C$ と表せるため、$$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$$が成り立ちます。【まとめ：正弦定理の応用と合格へのポイント】今日の学びを整理しましょう。辺の比はサインの比: 長さの比を知りたければ、角度のサインの比を調べればよい（逆もまた然り）。$ 2R $は消える: 比を考えるとき、外接円の半径$ R $ は約分されて消えるため、具体的な大きさがわからなくても比は求まる。角度そのものの比ではない: $a : b : c \neq A : B : C$ であることを肝に銘じる。この変換が自然にできるようになれば、共通テストや中堅私大レベルの図形問題で、計算の手数を大幅に減らすことができますよ。【解き直しのすすめ：アウトプット】「わかったつもり」で終わらせないために、今すぐやってほしいことがあります。「明日、白紙の紙に『正弦定理の基本式』からスタートして、この『比の式』を自分の手で導けるかテストしてみてください」たったこれだけですが、これをやるかやらないかで、試験本番で「ど忘れ」した時の対応力が変わります。それが本当の実力です。【質問し放題・自習室0円キャンペーン中】「この変形、もう少し詳しく聞きたい…」「似たような問題で、ここがわからない…」そんな疑問をそのままにしていませんか？今なら、この解説のような「全教科対応の質問回答」と、集中できる「オンライン自習室」が、完全0円で体験できます。東工大・一橋卒のプロコーチが、あなたの学習を直接サポートします。まずは気軽に話しかけてくださいね。＼まずは「0円」で体験／Costuba（コスタバ）公式LINE▼ 「わからない」をスマホで即解決。今すぐ質問する ▼Costuba公式LINEで無料体験【期間限定】✅ 全教科 LINE質問し放題✅ オンライン自習室 利用し放題✅ 学習コーチング（希望者）