数学I「データの分析」の問題

第1部：データの代表値と整理（基礎）

Q1 次のデータの平均値、中央値、最頻値を求めよ。 $$ 4, \quad 3, \quad 7, \quad 2, \quad 5, \quad 4, \quad 0, \quad 5, \quad 6, \quad 2 $$

Q2 生徒10人の小テストの結果、平均値が $13.8$ 点であった。 $$ 13, \quad 14, \quad 14, \quad 15, \quad 14, \quad 13, \quad 13, \quad a, \quad 13, \quad 14 $$ このとき、$ a $ の値を求めよ。

Q3 次の度数分布表から、平均値を求めよ。

Q4 ある変量 $x$ について、データの値がすべて等しいとき、分散と標準偏差はいくらになるか。

Q5 次のデータの中央値として考えられる値は何通りあるか。 $$ 37, \quad 31, \quad 38, \quad 27, \quad 41, \quad 35, \quad 30, \quad a \quad (\text{単位は冊}) $$ ただし、$ a $は$ 0 $ 以上の整数とする。

Q6 次のデータの範囲（レンジ）と四分位範囲（IQR）を求めよ。 $$ 10, \quad 14, \quad 15, \quad 21, \quad 28, \quad 39, \quad 53, \quad 76, \quad 99 $$

Q7 $100$ 人の生徒の身長データにおいて、第1四分位数が $155$ cm、第3四分位数が $165$ cmであった。このとき、四分位偏差はいくらか。

Q8 箱ひげ図において、箱の左端、中央の線、右端が表す統計量はそれぞれ何か。

第2部：分散・標準偏差・変量の変換（標準〜発展）

Q9 次のデータの分散と標準偏差を求めよ。 $$ 5, \quad 6, \quad 5, \quad 5, \quad 8 $$

Q10 変量 $x$ の平均値が $ 60 $、分散が $36$ であるとする。新しい変量 $y = x – 15$ とするとき、$ y $ の平均値と分散を求めよ。

Q11 変量 $x$ の平均値が $ 50 $、標準偏差が $10$ であるとする。新しい変量 $y = 2x + 10$ とするとき、$ y $ の平均値と標準偏差を求めよ。

Q12 データの修正問題。$ 6 $ 人のデータがあり、計算した平均値は $ 14 $、分散はある値であった。しかし、データの一部に誤りがあり、正しくは「$ 18 $が$ 17 $」「$ 9 $が$ 10 $」であった。修正後、平均値と分散はそれぞれ「増加・減少・不変」のどれになるか。

Q13 2つのグループの統合。 Aグループ（$ 10 $ 人）：平均 $70$ 点 Bグループ（$ 20 $ 人）：平均 $60$ 点 このとき、全体の平均点を求めよ。

Q14 2つのグループの統合（分散）。 Aグループ（$ 8 $ 個）：平均 $ 3 $、分散 $4$ Bグループ（$ 12 $ 個）：平均 $ 8 $、分散 $9$ このとき、全体の分散を求める手順を式で示せ（計算不要）。

Q15 次のデータから、分散を「(2乗の平均) – (平均の2乗)」の公式を用いて求めよ。 $$ 1, \quad 3, \quad 5, \quad 7, \quad 9 $$

Q16 変量 $x$ を標準化（$ z $ 得点化）する以下の式について、 $$ z = \frac{x – \bar{x}}{s_x} $$ $z$ の平均値と標準偏差は必ずいくつになるか。

Q17 数値 $a, b, c$ の平均値が $ 14 $、分散が $64$ であるとき、$ a^2 + b^2 + c^2 $ の値を求めよ。

Q18 偏差の和が常に $0$ になることを、以下の式変形を用いて証明せよ。 $$ \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x}) = 0 $$

第3部：相関関係と散布図（標準〜発展）

Q19 次の $x, y$ のデータについて、共分散 $s_{xy}$ を求めよ。 $$ (x, y) = (2, 3), \ (4, 5), \ (6, 7), \ (8, 9), \ (10, 11) $$

Q20 あるデータの相関係数が $r = -0.85$ であった。このとき、散布図の点の分布はどのような傾向を示すか（右上がり/右下がり、強い/弱い）。

Q21 変量 $x$ の標準偏差が $ 5 $、変量 $y$ の標準偏差が $ 4 $、$ x $と$ y $ の共分散が $12$ であるとき、相関係数 $r$ を求めよ。

Q22 相関係数が $0$ であることは、$ x $と$ y $ の間に「何の関係もない」ことを意味するか。（ヒント：非線形の関係）

Q23 変量 $x, y$ の相関係数が $0.6$ であるとき、$ x $を$ 2 $ 倍、$ y $ を $-3$ 倍した新しい変量 $x’, y’$ の相関係数はいくらになるか。

Q24 次の文章は正しいか。 「数学の点数と50m走のタイムには強い負の相関がある。したがって、50m走の練習をすれば数学の点数が上がると言える。」

Q25 散布図において、ある1点が全体から大きく離れている（外れ値）。この点を除外すると、相関係数の絶対値は一般にどう変化するか。

第4部：仮説検定・統計的推測（発展）

Q26 公正なコインを $10$ 回投げて $8$ 回表が出た。「このコインは表が出やすい」と判断してよいか。有意水準 $0.05$ とし、以下の確率を用いよ。 $$ P(X \geqq 8) = 0.055 $$

Q27 ある試験の合格・不合格と、教材Aの使用・不使用の関係を調べるために作成する表を何というか。

Q28 仮説検定において「帰無仮説」とは何か、簡潔に説明せよ。

Q29 ある新薬の効果を検証したい。「効果がない」と仮定したとき、その結果が得られる確率が $0.01$ であった。基準となる確率（有意水準）が $0.05$ のとき、どのような結論を導くべきか。

Q30 データセット $X = {x_1, \dots, x_n}$ の各値を2乗したデータの平均値は、元のデータの平均値 $m$ と標準偏差 $s$ を用いて、定数 $c$ を用いて以下のように表されることを証明せよ。 $$ c(s^2 + m^2) $$

第5部：データの散らばりと分布の形状（基礎〜標準）

Q31 右に裾が長い（右に歪んだ）分布において、一般的に平均値と中央値の大小関係はどうなるか。

Q32 箱ひげ図の外れ値の基準としてよく用いられる「1.5IQRルール」について、第1四分位数 $ Q_1 $、第3四分位数 $ Q_3 $、四分位範囲 $\text{IQR}$ を用いて説明せよ。

Q33 あるクラスのテスト結果の箱ひげ図において、「中央値が箱の左寄り（第1四分位数に近い）」にあるとき、得点の分布はどのような特徴を持っていると考えられるか。

Q34 ヒストグラムと箱ひげ図の対応。山が2つある（双峰性）分布のヒストグラムを箱ひげ図にすると、どのような形になりやすいか。中央値付近の密度に着目して答えよ。

Q35 範囲（レンジ）が $20$ であるデータに、新しい値を追加した。このとき、範囲は小さくなることがあるか。理由とともに答えよ。

第6部：変量の変換と標準化（標準）

Q36 変量 $x$ の平均値が $ 800 $、標準偏差が $50$ であるとき、計算を簡単にするために以下の変換を行った。 $$ u = \frac{x – 800}{50} $$ この変量 $u$ の平均値と標準偏差はそれぞれいくらになるか。

Q37 変量 $x$ の分散が $s_x^2$ であるとき、$ y = -3x + 5 $ と変換した。変量 $y$ の分散 $s_y^2$ を $s_x^2$ を用いて表せ。

Q38 偏差値の定義。平均 $ 50 $、標準偏差 $10$ になるように変換した数値を偏差値という。ある生徒の得点が平均値と同じだった場合、その偏差値はいくらか。

Q39 変量 $x$ と変量 $y$ の相関係数が $r = 0.6$ であるとする。$ x $を$ 2 $ 倍し、$ y $ に $10$ を加えた新しい変量 $x’, y’$ の間の相関係数はどうなるか。

Q40 変量 $x$ と変量 $y$ の相関係数が $r = 0.8$ であるとする。$ x $ はそのままで、$ y $ を $-1$ 倍 した新しい変量 $y’ = -y$ との間の相関係数はどうなるか。

第7部：相関関係と論理的推測（発展）

Q41 擬似相関（見かけ上の相関）について。「アイスクリームの売上」と「水難事故の件数」には強い正の相関があるが、これらに因果関係はないとされる。その理由を「第3の変数」という言葉を使って説明せよ。

Q42 共分散 $s_{xy}$ が $0$ であれば、相関係数 $r$ は必ず $0$ になるか。

Q43 散布図上で、すべての点が右下がりの一直線上に並んでいるとき、相関係数 $r$ の値はいくらか。

Q44 「相関係数が高い（$ 1 $ に近い）」ことは、「変化の割合（直線の傾き）が急である」ことを意味するか。 （ヒント：$ y = x $ と $y = 0.1x$ の相関係数を比較して考察せよ）

Q45 クロス集計表（分割表）の読み取り。ある試験の合否（合格・不合格）と勉強法（A・B）の表がある。「勉強法Aの方が有利である」と判断するためには、単に合格者数を見るのではなく、何を比較する必要があるか。

第8部：総合演習・思考力（発展）

Q46 データの復元。3つの正の数 $a, b, c$ がある。平均値が $ 4 $、分散が $0$ であるとき、$ a, b, c $ の値を求めよ。

Q47 平均値と分散の性質。データの中に極端な外れ値が1つ含まれている場合、「平均値」と「中央値」のうち、より影響を受けにくい（頑健性がある）のはどちらか。

Q48 2つの変量 $x, y$ の和の平均。変量 $z = x + y$ を考える。$ x $ の平均を $ \bar{x} $、$ y $ の平均を $\bar{y}$ とするとき、$ z $ の平均 $\bar{z}$ が以下に等しいことを示せ。 $$ \bar{z} = \bar{x} + \bar{y} $$

Q49 最小二乗法の考え方。散布図において、データ点との距離（誤差）の2乗の和を最小にする直線を何と呼ぶか。

Q50 相関係数 $r$ の定義式において、$ |r| \leqq 1 $ となることは、ベクトルの内積の性質（コーシー・シュワルツの不等式）によって保証されている。これを数式で表現せよ。