よくあるミス
$\sqrt{2}+\sqrt{4}$ を $\sqrt{6}$ と計算してしまうミス。$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ と $\sqrt{a+b}$ は一般に等しくありません。
この練習で扱うこと
加法・減算（ルートを簡単にしてから計算）、乗法（根号どうし・展開・分配）、除法、分母の有理化（分母に根号1つ・分母に「数±根号」・分母に根号2つ）。
1
$\sqrt{4}+\sqrt{9}$ を計算せよ。
2
$\sqrt{2}+\sqrt{8}$ を計算せよ。
3
$\sqrt{8}-\sqrt{2}$ を計算せよ。
4
$\sqrt{12}-\sqrt{3}$ を計算せよ。
5
$\sqrt{2}\times\sqrt{3}$ を計算せよ。
6
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$ を計算せよ。
7
$\sqrt{6}\div\sqrt{2}$ を計算せよ。
8
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ の分母を有理化せよ。
9
$\frac{6}{\sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。
10
$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化せよ。
11
$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$ の分母を有理化せよ。
12
ある生徒は $\sqrt{2}+\sqrt{4}$ を $\sqrt{6}$ と計算しました。正しい計算をして、答えを求めよ。
13
$\sqrt{18}+\sqrt{50}$ を計算せよ。
14
$\sqrt{50}-\sqrt{18}$ を計算せよ。
15
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$ を計算せよ。
16
$\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{3})$ を計算せよ。
17
$\sqrt{20}\div\sqrt{5}$ を計算せよ。
18
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。
19
$\sqrt{27}+\sqrt{12}$ を計算せよ。
20
$\sqrt{24}-\sqrt{6}$ を計算せよ。
21
$\frac{3}{\sqrt{2}}$ の分母を有理化せよ。
22
$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。
23
$\sqrt{48}+\sqrt{75}$ を計算せよ。
24
$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-2)$ を計算せよ。
解くときのポイント
-
加法・減算
$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$ は成り立たない。ルートを簡単にしてから、同じ $\sqrt{\bullet}$ どうしで係数をたす・ひく。 -
乗法
$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。$(x+\sqrt{p})(x-\sqrt{p})=x^2-p$ をよく使う。$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ で根号の和の2乗を展開する。 -
除法
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$b\neq 0$）。約分や有理化と組み合わせる。 -
有理化
分母に根号だけのときは、分母・分子にその根号をかける。分母が「数±根号」のときは、分母・分子に共役（符号を変えた式）をかけて $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を使う。分母に根号が2つ（$\sqrt{p}-\sqrt{q}$ など）のときは、分母・分子に $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ をかける。
解答解説
問1 の解説
まず、$\sqrt{4}$ と $\sqrt{9}$ をそれぞれ整数に直そう。
ルートの中が $4$ や $9$ のような「平方数」のときは、根号を外せる。
$4=2^2$、$9=3^2$ だから、
$$ \sqrt{4}=2 $$
$$ \sqrt{9}=3 $$
である。
だから、
$$ \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5 $$
となる。
ここが大切：$\sqrt{4}+\sqrt{9}$ と $\sqrt{4+9}$（つまり $\sqrt{13}$）は等しくない。
ルートのたし算では、中身を足してから1つのルートにすることはできない。
答：$5$
問2 の解説
$\sqrt{2}$ と $\sqrt{8}$ は、そのままでは「同じ種類」としてまとめられない。
だから、まず $\sqrt{8}$ を変形しよう。
$8=4\times 2$ で、$4$ は平方数だから、
$$ \sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=\sqrt{4}\times\sqrt{2}=2\sqrt{2} $$
となる。ルートの中から $2$ を外に出した。
こうすると、$\sqrt{2}$ と $2\sqrt{2}$ はどちらも「$\sqrt{2}$ の何倍か」だから、係数をたせばよい。
$$ \sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2} $$
答：$3\sqrt{2}$
問3 の解説
ひき算でも、まずルートを簡単にしてから、同じ $\sqrt{\bullet}$ どうしの係数をひく。
問2と同じように、$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ と変形する。
$$ \sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2} $$
$2\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を1つひくと、$\sqrt{2}$ が1つ残る。
$$ 2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2} $$
答：$\sqrt{2}$
問4 の解説
まず $\sqrt{12}$ を簡単にする。
$12=4\times 3$ で、$4$ は平方数だから、
$$ \sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3} $$
となる。
こうすると、$\sqrt{12}$ と $\sqrt{3}$ はどちらも「$\sqrt{3}$ の何倍か」だから、係数をひけばよい。
$$ \sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3} $$
答：$\sqrt{3}$
問5 の解説
ルートどうしのかけ算では、中身どうしをかけて、1つのルートにまとめてよい。
公式でいうと、$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ である。
この問題では $a=2$、$b=3$ だから、
$$ \sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2\times 3} $$
$$ =\sqrt{6} $$
となる。たし算のときと違って、かけ算では「中身をかけて1つのルートにする」ことができる。
答：$\sqrt{6}$
問6 の解説
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$ は、「和と差の積」の形になっている。
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ という公式が使える。
$a=2$、$b=\sqrt{3}$ とおくと、
$$ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2 $$
$(\sqrt{3})^2$ は、$\sqrt{3}$ を2回かけたものだから、根号が外れて $3$ になる。
$$ =4-3 $$
$$ =1 $$
答：$1$
問7 の解説
$\sqrt{6}\div\sqrt{2}$ は、分数で書くと $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ である。
ルートのわり算では、中身どうしを割って、1つのルートにまとめてよい。
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ が成り立つ。
だから、
$$ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}} $$
$$ =\sqrt{3} $$
となる。
答：$\sqrt{3}$
問8 の解説
分母にルートがある分数は、「有理化」して、分母を整数にすることが多い。
そのために、分母・分子の両方に、分母と同じ $\sqrt{2}$ をかける。
分母は $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$ になって、ルートが消える。
分子は $1\times\sqrt{2}=\sqrt{2}$ になる。
式で書くと、
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} $$
$$ =\frac{\sqrt{2}}{2} $$
となる。分母が整数 $2$ になり、分子にだけルートが残った形である。
答：$\frac{\sqrt{2}}{2}$
問9 の解説
問8と同じように、分母に $\sqrt{3}$ だけがあるので、分母・分子に $\sqrt{3}$ をかけて有理化する。
分母は $\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$ になる。
分子は $6\times\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ になる。
だから、
$$ \frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} $$
$$ =\frac{6\sqrt{3}}{3} $$
となる。
分子の $6$ と分母の $3$ は約分できる。$\frac{6}{3}=2$ だから、
$$ \frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3} $$
となる。ルートだけが残った $a\sqrt{3}$ の形である。
答：$2\sqrt{3}$
問10 の解説
分母が $\sqrt{3}-1$ のように「ルート－数」の形になっている。
このときは、分母・分子に「符号を逆にした式」$\sqrt{3}+1$ をかける。
すると分母は、和と差の積 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ の形になる。
$a=\sqrt{3}$、$b=1$ とすると、
$$ (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^2-1^2 $$
$(\sqrt{3})^2$ はルートが外れて $3$ になる。
$$ =3-1 $$
$$ =2 $$
だから分母は整数 $2$ になる。
分子は $1\times(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}+1$ である。
だから、
$$ \frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} $$
$$ =\frac{\sqrt{3}+1}{2} $$
答：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
問11 の解説
分母が $\sqrt{5}+1$ の形なので、分母・分子に「符号を逆にした式」$\sqrt{5}-1$ をかける。
分母は和と差の積になる。
$$ (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2 $$
$$ =5-1 $$
$$ =4 $$
だから分母は $4$ になる。
分子は $2\times(\sqrt{5}-1)=2(\sqrt{5}-1)$ である。
だから、
$$ \frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} $$
$$ =\frac{2(\sqrt{5}-1)}{4} $$
$2$ と $4$ を約分して、
$$ =\frac{\sqrt{5}-1}{2} $$
答：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
問12 の解説
「$\sqrt{2}+\sqrt{4}$ を $\sqrt{6}$ とする」のは、まちがいである。
中身を足して $\sqrt{2+4}=\sqrt{6}$ としているが、$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ と $\sqrt{a+b}$ は等しくならない。
正しくは、まず $\sqrt{4}$ を簡単にする。
$\sqrt{4}=2$ だから、
$$ \sqrt{2}+\sqrt{4}=\sqrt{2}+2 $$
となる。
$\sqrt{2}$ はこれ以上簡単にできないので、$2+\sqrt{2}$ と書いてもよい。
どちらにしても、$\sqrt{6}$ とはちがう値である。
答：$\sqrt{2}+2$（または $2+\sqrt{2}$）
問13 の解説
まず、$\sqrt{18}$ と $\sqrt{50}$ をそれぞれ簡単にする。
$18=9\times 2$ で、$9$ は平方数だから、
$$ \sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2} $$
となる。
$50=25\times 2$ で、$25$ は平方数だから、
$$ \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} $$
となる。
どちらも「$\sqrt{2}$ の何倍か」になったので、係数どうしをたせばよい。
$$ \sqrt{18}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2} $$
$$ =8\sqrt{2} $$
答：$8\sqrt{2}$
問14 の解説
問13と同じように、$\sqrt{50}$ と $\sqrt{18}$ をそれぞれ $k\sqrt{2}$ の形に変形する。
$$ \sqrt{50}=5\sqrt{2} $$
$$ \sqrt{18}=3\sqrt{2} $$
同じ $\sqrt{2}$ どうしの係数をひく。
$$ \sqrt{50}-\sqrt{18}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2} $$
$$ =2\sqrt{2} $$
答：$2\sqrt{2}$
問15 の解説
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$ は、2乗の展開公式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ が使える。
$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{3}$ とする。
まず $a^2$ は、
$$ (\sqrt{2})^2=2 $$
つぎに $2ab$ は、
$$ 2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}=2\sqrt{6} $$
（ルートどうしのかけ算は、中身をかけて $\sqrt{6}$ になる。）
$b^2$ は、
$$ (\sqrt{3})^2=3 $$
だから、ぜんぶたすと、
$$ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{6}+3 $$
$$ =5+2\sqrt{6} $$
答：$5+2\sqrt{6}$
問16 の解説
$\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{3})$ は、$\sqrt{2}$ をカッコの中の $\sqrt{6}$ と $\sqrt{3}$ のそれぞれにかける（分配する）。
$$ \sqrt{2}\times\sqrt{6}+\sqrt{2}\times\sqrt{3} $$
ルートどうしのかけ算だから、中身をかけて、
$$ =\sqrt{12}+\sqrt{6} $$
となる。
ここで $\sqrt{12}$ を簡単にする。$12=4\times 3$ で、$4$ は平方数だから、
$$ \sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3} $$
$\sqrt{6}$ はこれ以上簡単にできないのでそのまま。
だから、
$$ \sqrt{12}+\sqrt{6}=2\sqrt{3}+\sqrt{6} $$
答：$2\sqrt{3}+\sqrt{6}$
問17 の解説
$\sqrt{20}\div\sqrt{5}$ は、分数で書くと $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$ である。
ルートのわり算では、中身どうしを割って、1つのルートにまとめてよい。
$$ \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{20}{5}} $$
$$ =\sqrt{4} $$
$$ =2 $$
となる。
答：$2$
問18 の解説
分母が $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ のように「ルート－ルート」の形になっている。
このときは、分母・分子に「符号を逆にした式」$\sqrt{5}+\sqrt{3}$ をかける。
分母は和と差の積になる。$a=\sqrt{5}$、$b=\sqrt{3}$ とすると、
$$ (\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2 $$
ルートの2乗は外れるから、
$$ =5-3 $$
$$ =2 $$
だから分母は整数 $2$ になる。
分子は $1\times(\sqrt{5}+\sqrt{3})=\sqrt{5}+\sqrt{3}$ である。
だから、
$$ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} $$
$$ =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} $$
答：$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
問19 の解説
まず、$\sqrt{27}$ と $\sqrt{12}$ をそれぞれ $k\sqrt{3}$ の形に変形する。
$27=9\times 3$ で、$9$ は平方数だから、
$$ \sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3} $$
$12=4\times 3$ で、$4$ は平方数だから、
$$ \sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3} $$
どちらも「$\sqrt{3}$ の何倍か」になったので、係数どうしをたせばよい。
$$ \sqrt{27}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}+2\sqrt{3} $$
$$ =5\sqrt{3} $$
答：$5\sqrt{3}$
問20 の解説
まず $\sqrt{24}$ を簡単にする。
$24=4\times 6$ で、$4$ は平方数だから、
$$ \sqrt{24}=\sqrt{4\times 6}=2\sqrt{6} $$
こうすると、$\sqrt{24}$ と $\sqrt{6}$ はどちらも「$\sqrt{6}$ の何倍か」だから、係数をひけばよい。
$$ \sqrt{24}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}-\sqrt{6} $$
$$ =\sqrt{6} $$
答：$\sqrt{6}$
問21 の解説
問8と同じように、分母に $\sqrt{2}$ だけがあるので、分母・分子に $\sqrt{2}$ をかけて有理化する。
分母は $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$ になる。
分子は $3\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ になる。
だから、
$$ \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} $$
$$ =\frac{3\sqrt{2}}{2} $$
分子が $1$ でなく $3$ でも、やり方は同じである。
答：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
問22 の解説
分母が $2+\sqrt{3}$ のように「数＋ルート」の形なので、分母・分子に「符号を逆にした式」$2-\sqrt{3}$ をかける。
分母は和と差の積になる。
$$ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2 $$
$(\sqrt{3})^2$ はルートが外れて $3$ になる。
$$ =4-3 $$
$$ =1 $$
だから分母は $1$ になる。
分子は $1\times(2-\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$ である。
だから、
$$ \frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} $$
$$ =\frac{2-\sqrt{3}}{1} $$
分母が $1$ のときは、そのまま分子が答えになる。
$$ =2-\sqrt{3} $$
答：$2-\sqrt{3}$
問23 の解説
まず、$\sqrt{48}$ と $\sqrt{75}$ をそれぞれ $k\sqrt{3}$ の形に変形する。
$48=16\times 3$ で、$16$ は平方数だから、
$$ \sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3} $$
$75=25\times 3$ で、$25$ は平方数だから、
$$ \sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=5\sqrt{3} $$
どちらも「$\sqrt{3}$ の何倍か」になったので、係数どうしをたせばよい。
$$ \sqrt{48}+\sqrt{75}=4\sqrt{3}+5\sqrt{3} $$
$$ =9\sqrt{3} $$
答：$9\sqrt{3}$
問24 の解説
$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-2)$ は、和と差の積の形ではないので、分配法則で普通に展開する。
$\sqrt{3}+1$ のそれぞれに、$\sqrt{3}-2$ のそれぞれをかける。
- $\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$
- $\sqrt{3}\times(-2)=-2\sqrt{3}$
- $1\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$
- $1\times(-2)=-2$
だから、ぜんぶたすと、
$$ (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-2)=3-2\sqrt{3}+\sqrt{3}-2 $$
$-2\sqrt{3}+\sqrt{3}$ は、$\sqrt{3}$ の係数が $-2+1=-1$ だから $-\sqrt{3}$ になる。
$3-2$ は $1$ だから、
$$ =1-\sqrt{3} $$
答：$1-\sqrt{3}$
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