等差数列・等比数列の条件から a , b a,b を求める

【問題】

264 $0$ でない $2$ つの実数 $a, b$ に対し、$a, 2, b$ がこの順で等比数列であり、$\frac{1}{2}, \frac{1}{b}, \frac{1}{a}$ がこの順で等差数列である。このとき、$a, b$ の値を求めよ。

（改 神奈川大）★

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まずは自力で解いてみよう。「3つの数が等差数列」「3つの数が等比数列」の条件を、それぞれ1本の式にまとめられる。その「中項の公式」を思い出そう。

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【解説と解答】等差中項・等比中項から $a, b$ を求める

導入：3つの数が数列をなす条件

この問題の武器は、中項（真ん中の項） を使った条件式だ。

• 等差数列：$x, y, z$ がこの順に等差数列 $\iff 2y = x + z$
• 等比数列（$0$ でない数）：$x, y, z$ がこの順に等比数列 $\iff y^2 = xz$

「真ん中の2倍＝両端の和」「真ん中の2乗＝両端の積」と覚えておこう。

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使う武器（公式）

$$ \text{等差数列} \quad x, y, z \quad \Rightarrow \quad 2y = x + z $$ $$ \text{等比数列} \quad x, y, z \ (\neq 0) \quad \Rightarrow \quad y^2 = xz $$

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解答の流れ

条件1：$a, 2, b$ が等比数列

$$ 2^2 = a \cdot b \quad \Rightarrow \quad ab = 4 $$

条件2：$\frac{1}{2}, \frac{1}{b}, \frac{1}{a}$ が等差数列（真ん中は $\frac{1}{b}$）

$$ 2 \cdot \frac{1}{b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{b} = \frac{a + 2}{2a} $$

両辺に $2ab$ をかけて、

$$ 4a = b(a + 2) \quad \Rightarrow \quad 4a = ab + 2b $$

$ab = 4$ を代入して、

$$ 4a = 4 + 2b \quad \Rightarrow \quad 2a = 2 + b \quad \Rightarrow \quad b = 2a – 2 $$

これを $ab = 4$ に代入して、

$$ a(2a – 2) = 4 \quad \Rightarrow \quad 2a^2 – 2a – 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 – a – 2 = 0 $$

$$ (a – 2)(a + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \text{ または } a = -1 $$

• $a = 2$ のとき：$b = 2$
• $a = -1$ のとき：$b = -4$

答：$(a, b) = (2, 2)$ 、$(-1, -4)$

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【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】

□ 問題：3つの数 $x, y, z$ が等差数列のとき、真ん中の項 $y$ と両端の関係を式で表すと？

□ 答：$2y = x + z$ 。等差中項の公式。真ん中の2倍＝両端の和。

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□ 問題：$0$ でない3つの数 $x, y, z$ が等比数列のとき、真ん中の項 $y$ と両端の関係を式で表すと？

□ 答：$y^2 = xz$ 。等比中項の公式。真ん中の2乗＝両端の積。

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□ 問題：$a + b$ と $ab$ がわかっているとき、$a, b$ を求めるにはどんな2次方程式を使うか？

□ 答：$t^2 – (a+b)t + ab = 0$ の解が $a, b$ 。解と係数の関係の逆。

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□ 問題：$\frac{1}{b} + \frac{1}{a}$ を $a + b$ と $ab$ で表すと？

□ 答：$\frac{a + b}{ab}$ 。通分すると分子が $a + b$ 、分母が $ab$ になる。

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□ 問題：$a, 2, b$ が等比数列のとき、$ab$ の値は？

□ 答：$4$ 。$2^2 = ab$ より $ab = 4$ 。

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□ 問題：等比数列の条件で「$0$ でない」と断る理由は？

□ 答：$0$ が含まれると $y^2 = xz$ が成り立っても等比数列とは限らない（公比が定義できない場合がある）から。

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□ 問題：等差数列の条件 $2y = x + z$ は、隣り合う項の差が等しいことからどう導かれるか？

□ 答：$y – x = z – y$ を移項すると $2y = x + z$ 。隣り合う差が等しいから、$y$ は $x$ と $z$ の「平均」。

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□ 問題：等比数列の条件 $y^2 = xz$ は、隣り合う項の比が等しいことからどう導かれるか？

□ 答：$\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$ を交叉相乘すると $y^2 = xz$ 。隣り合う比が等しいから、$y$ は $x$ と $z$ の「幾何平均」。

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【まとめ】

• 等差中項：$x, y, z$ が等差数列 $\iff 2y = x + z$
• 等比中項：$x, y, z$ が等比数列（$0$ でない）$\iff y^2 = xz$
• $a + b$ と $ab$ がわかれば、$t^2 – (a+b)t + ab = 0$ を解いて $a, b$ を求められる。
• 逆数が等差数列になる条件は、通分して $a + b$ と $ab$ の関係式に持ち込むのがコツ。

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【解き直しのすすめ】

「中項の公式」を覚えていれば、条件を1本の式にまとめられる。$a + b$ と $ab$ が出たら、2次方程式の解と係数の関係を思い出すとよい。