【問題】
$0° \leqq \theta \leqq 180°$ とする。 $-2\sin\theta + 1$ のとりうる値の範囲を求めよ。
まずは自分の力で解いてみてください。 $\sin\theta$ の範囲から出発することを意識すると、ひらめきやすくなります。
いまから解説します。自分の力で解きましたか？
【解説と解答】三角関数の式の値の範囲を不等式変形で求める
導入
「式の値の範囲」を求めよ、という問題では、 三角関数（ $\sin\theta$ や $\cos\theta$ ）を「文字」のように扱い、不等式変形する のが基本です。
とはいえ、「どの順番で何を考えると、解けるか」が難しいですよね。ここでは、 「どのように考えを進めると、答えにたどり着けるか」 という取っ掛かりを、初心者向けに丁寧に説明します。
「解き方」を思い出すための取っ掛かり（初心者向け）
ステップ1：式の形に注目する
$-2\sin\theta + 1$ という式を見てください。
- 「 $\sin\theta$ の1次式」になっている
- 「 $\sin\theta$ を $t$ のように文字で置いて、 $t$ の範囲から $-2t+1$ の範囲を求める」という発想が使える
なぜこの形に注目するか： 三角関数の値の範囲の問題では、 まず $\sin\theta$（または $\cos\theta$ ）の範囲を求め、それを不等式変形で目的の式に持ち込む という手順がほぼ決まりです。 「 $\sin\theta$ の1次式」だからこそ、この手順が使えます。
ステップ2： $\theta$ の範囲から $\sin\theta$ の範囲を求める
$0° \leqq \theta \leqq 180°$ のとき、 $\sin\theta$ は $0$ から $1$ まで、そして $1$ から $0$ まで変化します。
$$ 0 \leqq \sin\theta \leqq 1 $$
なぜここから始めるか： 目的の式 $-2\sin\theta + 1$ は $\sin\theta$ の関数です。 $\sin\theta$ のとりうる範囲がわかれば、それを「 $-2$ をかけて $1$ を足す」操作で、目的の式の範囲に変形できます。
ステップ3：不等式変形の注意点を思い出す
次に、 $0 \leqq \sin\theta \leqq 1$ の各辺に $-2$ をかけます。
ここが最重要：負の数をかけると、不等号の向きが変わる。
$$ -2 \leqq -2\sin\theta \leqq 0 $$
（ $0$ に $-2$ をかけると $0$ 、 $1$ に $-2$ をかけると $-2$ 。小さい方と大きい方が入れ替わるので、不等号の向きが逆になります。）
この問題でつまずきやすいポイントは以下の3つです：
- $\sin\theta$ の範囲を先に求める という手順を思いつかない
- 負の数をかけると不等号の向きが変わる ことを忘れる
- $\theta$ と $\sin\theta$ の対応（ $0° \to 0$ 、 $90° \to 1$ 、 $180° \to 0$ ）をイメージできない
一緒に見ていきましょう。
使う武器（公式・定理）
1. $0° \leqq \theta \leqq 180°$ のときの $\sin\theta$ の範囲
$$ 0 \leqq \sin\theta \leqq 1 $$
$\theta$ が $0°$ から $180°$ まで変化すると、 $\sin\theta$ は $0 \to 1 \to 0$ と変化します。
2. 不等式の性質（負の数をかける・足す）
- 負の数をかける：各辺に負の数をかけると、不等号の向きが逆になる
- 例： $a \leqq b$ のとき、 $k < 0$ なら $ka \geqq kb$
- 数を足す：各辺に同じ数を足しても、不等号の向きは変わらない
既習の方はこのセクションを読み飛ばして構いません。
思考のプロセス（Step by Step）
Step 1： $\sin\theta$ の範囲を求める
$0° \leqq \theta \leqq 180°$ のとき、
$$ 0 \leqq \sin\theta \leqq 1 $$
です。
Step 2：各辺に $-2$ をかける
負の数をかけるので、 不等号の向きが逆 になります。
$$ -2 \leqq -2\sin\theta \leqq 0 $$
Step 3：各辺に $1$ を足す
$$ -1 \leqq -2\sin\theta + 1 \leqq 1 $$
解答
$$ -1 \leqq -2\sin\theta + 1 \leqq 1 $$
【補足】 $\theta$ と式の値の対応
理解の確認用に、 $\theta$ が $0°$ 、 $90°$ 、 $180°$ のときの値を挙げます。
| $\theta$ | $0°$ | $90°$ | $180°$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $-2\sin\theta + 1$ | $1$ | $-1$ | $1$ |
$\theta$ が $0°$ から $180°$ まで変化すると、 $-2\sin\theta + 1$ は $1$ から $-1$ を経由して $1$ に戻ります。最小値 $-1$ 、最大値 $1$ であり、その間の値もすべてとります。
【まとめ】三角関数の式の値の範囲を求めるポイント
- $\sin\theta$（または $\cos\theta$ ）の1次式 の範囲は、① $\sin\theta$ の範囲を求める → ② 不等式変形 で求まる
- 負の数をかけるときは、不等号の向きを逆にする
- 各辺に数を足すだけなら、不等号の向きは変わらない
- $\theta$ が $0° \sim 180°$ のとき、 $\sin\theta$ は $0 \leqq \sin\theta \leqq 1$
【解き直しのすすめ】本当に理解できているか確認する
「わかったつもり」を防ぐには、 何も見ずに自分の手で解き直す ことが大切です。
解説を読む（インプット）と、自分で解く（アウトプット）は別の力です。解説を見ながらだと「理解した気」になってしまいます。
明日、何も見ずにこの問題が解けるかテストしてみてください。それが本当の実力です。
【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】
□ 問題： $0° \leqq \theta \leqq 180°$ のとき、 $\sin\theta$ のとりうる値の範囲は？
□ 答： $0 \leqq \sin\theta \leqq 1$
□ 問題：不等式の各辺に負の数をかけると、不等号はどうなるか？
□ 答：向きが逆になる（ $a \leqq b$ かつ $k < 0$ なら $ka \geqq kb$ ）
□ 問題： $-2\sin\theta + 1$ の範囲を求める手順は？
□ 答：① $0 \leqq \sin\theta \leqq 1$ ② 各辺に $-2$ をかけて $-2 \leqq -2\sin\theta \leqq 0$ ③ 各辺に $1$ を足して $-1 \leqq -2\sin\theta + 1 \leqq 1$
□ 問題： $\theta = 90°$ のとき、 $-2\sin\theta + 1$ の値は？
□ 答： $\sin 90° = 1$ より、 $-2 \times 1 + 1 = -1$
□ 問題： 三角関数の「式の値の範囲」の問題で、最初に求めるべきものは？
□ 答： $\sin\theta$ または $\cos\theta$ のとりうる範囲
□ 問題： 不等号の向きが変わる操作と、変わらない操作を挙げよ。
□ 答：変わる＝負の数をかける、負の数で割る。変わらない＝正の数をかける、数を足す・引く
□ 問題： 「 $\sin\theta$ の1次式」の範囲を求める際の基本方針は？
□ 答： $\sin\theta$ を文字のように扱い、 $\sin\theta$ の範囲から不等式変形で目的の式の範囲に持ち込む
□ 問題： $0° \leqq \theta \leqq 180°$ のとき、 $\sin\theta$ が最小・最大になる $\theta$ は？
□ 答：最小 $0$ は $\theta = 0°$ および $180°$ 、最大 $1$ は $\theta = 90°$
□ 問題： $-2\sin\theta + 1$ が最小値 $-1$ をとるのは $\theta$ がいくつのときか？
□ 答： $\sin\theta = 1$ のとき、つまり $\theta = 90°$ のとき
□ 問題： 不等式変形でミスしやすいポイントは？
□ 答：負の数をかけたときに、不等号の向きを逆にするのを忘れること
【友達に教えてあげよう】
三角関数の「式の値の範囲」でつまずいている友達、周りにいませんか？ 負の数をかけると不等号が逆になる、というところでよくミスする単元です。
この解説を読んだあなたは、もう $\sin\theta$ の範囲から出発する手順と、不等式変形の注意点を押さえています。たった数分で、入試頻出のパターンを身につけられる解説は、なかなかありません。
人に教えると、自分の理解が深まります。ラーニングピラミッドでも「教える」が最も定着率の高い学習法といわれています。このページのURLを送るだけでなく、 友達に解き方を自分の言葉で説明してみてください 。教えるつもりで解くと、曖昧だった部分がはっきりします。説明できたら、本物の理解です。
もし周りに同じ問題で悩んでいる友達がいたら、このページのURLを送ってあげてください。あなたの一言が、友達の「わからない」を「わかった！」に変えるかもしれません。
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