# 180°−θ の三角比（補角の公式）｜レベル別演習30問【Level A・B・C】

基準問題

$\sin 120°$ を鋭角の三角比で表せ。

• 単元 ：三角比 — 補角の公式（180°−θ の変換）
• 難易度 ：教科書基本レベル
• ポイント ：120° = 180°−60° と表し、補角の公式 $\sin(180°-\theta)=\sin\theta$ を使って $\sin 60°$ に変換する
• 解答 ： $\sin 60°$

この演習では、補角の公式（180°−θ の三角比）を鋭角の三角比で表す力を鍛えます。補角とは「2つの角を足すと180°になる関係」のこと。第II象限では y 座標が正・x 座標が負になるので、 $\cos$ と $\tan$ は符号に注意しましょう。

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この問題を解くための基礎知識

補角とは何か？

補角（ほかく） とは、2つの角を足すと180°になる関係のことです。

「補」という漢字には「おぎなう」「足りない分を補う」という意味があります。平角（180°）からある角を引いた「残りの角」が、その角の補角です。

具体例でイメージしましょう。

• 60° の補角は何度ですか？ → 180° − 60° = 120°
• 30° の補角は何度ですか？ → 180° − 30° = 150°
• 90° の補角は何度ですか？ → 180° − 90° = 90°（90°どうしで補角の関係）
• 45° の補角は何度ですか？ → 180° − 45° = 135°
• 10° の補角は何度ですか？ → 180° − 10° = 170°
• 80° の補角は何度ですか？ → 180° − 80° = 100°
• 15° の補角は何度ですか？ → 180° − 15° = 165°
• 40° の補角は何度ですか？ → 180° − 40° = 140°
• 72° の補角は何度ですか？ → 180° − 72° = 108°
• 1° の補角は何度ですか？ → 180° − 1° = 179°

つまり、角 $\theta$ の補角は $180°-\theta$ です。逆に、 $180°-\theta$ の補角は $\theta$ です。2つは「お互いの補角」の関係にあります。

直線で考えると、なぜ補角が重要かがわかります。

直線上に点を置くと、そのまわりにできる角は180°です。1つの角が $\theta$ なら、その「補い」の角は $180°-\theta$ になります。また、平行線の錯角・同位角 を考えるとき、補角の関係がよく登場します。

例えば、三角形の外角と内角の関係でも、補角の考え方が使われます。120° と 60°、150° と 30° のように、この「ペア」の関係が、補角です。

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補角の公式とは（180°−θ の三角比）

補角の公式 とは、「ある角の三角比」と「その補角の三角比」のあいだに成り立つ関係式のことです。

角 $\theta$ の補角は $180°-\theta$ なので、補角の公式は「 $180°-\theta$ の三角比を、 $\theta$ の三角比で表す」公式です。

この公式を使うと、90°より大きい角（例：120°、150°）の三角比を、鋭角（90°未満）の三角比に書き換えできます。角度が小さいほうが計算しやすいことが多いので、とても便利です。

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180°−θ の三角比とは（単位円で理解する）

角 $180°-\theta$ は第II象限の角です。単位円で考えると、鋭角 $\theta$ の三角比を使って表すことができます。

第II象限では、y 座標（ $\sin$ ）は正、x 座標（ $\cos$ ）は負になります。この視覚的な理解がポイントです。

補角の公式（主要な3つ）

補角の公式は、次の3つです。 $\sin$ はそのまま、 $\cos$ と $\tan$ は符号が反転することがポイントです。

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公式1： $\sin(180°-\theta) = \sin\theta$

「 $180°-\theta$ の $\sin$ は、 $\theta$ の $\sin$ に等しい」という意味です。

なぜこうなるか：単位円で、角 $\theta$ と角 $180°-\theta$ は、y 軸に関して対称な位置にあります。y 座標（ $\sin$ ）は正で、同じ絶対値になります。だから、 $\sin(180°-\theta) = \sin\theta$ です。

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公式2： $\cos(180°-\theta) = -\cos\theta$

「 $180°-\theta$ の $\cos$ は、 $\theta$ の $\cos$ の符号を反転したものに等しい」という意味です。

なぜこうなるか：第II象限では x 座標が負になります。角 $\theta$ の x 座標と絶対値は同じですが、符号が反対になるので、 $\cos(180°-\theta) = -\cos\theta$ です。

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公式3： $\tan(180°-\theta) = -\tan\theta$

「 $180°-\theta$ の $\tan$ は、 $\theta$ の $\tan$ の符号を反転したものに等しい」という意味です。

なぜこうなるか： $\tan = \frac{\sin}{\cos}$ です。 $\sin$ はそのまま正、 $\cos$ は負になるので、 $\tan$ は負になります。だから、 $\tan(180°-\theta) = -\tan\theta$ です。

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覚え方のコツ： $\sin$ は「そのまま」、 $\cos$ と $\tan$ は「マイナスがつく」とまとめて覚えましょう。第II象限では x 座標が負になることが理由です。

変換の手順（補角の公式を使うとき）

1. 与えられた角を $180°-\theta$ の形に直す（ $\theta$ を鋭角で求める＝「補角はどれか」を考える）
2. 使う三角比（ $\sin$ / $\cos$ / $\tan$ ）に応じて、補角の公式で置き換える
3. $\cos$ と $\tan$ にはマイナスがつくかどうかを確認する

例題（補角の公式を使う）

例1 ： $\sin 120°$ を鋭角の三角比で表す。

120° の補角は 60°（120° + 60° = 180°）です。つまり 120° = 180°−60° なので、 $\theta=60°$ です。

$$ \sin 120° = \sin(180°-60°) = \sin 60° $$

答 ： $\sin 60°$

例2 ： $\cos 150°$ を鋭角の三角比で表す。

150° の補角は 30°（150° + 30° = 180°）です。つまり 150° = 180°−30° なので、 $\theta=30°$ です。

$$ \cos 150° = \cos(180°-30°) = -\cos 30° $$

答 ： $-\cos 30°$ （ $\cos$ は符号が反転する点に注意）

例3 ： $\tan 135°$ を鋭角の三角比で表す。

135° の補角は 45°（135° + 45° = 180°）です。つまり 135° = 180°−45° なので、 $\theta=45°$ です。

$$ \tan 135° = \tan(180°-45°) = -\tan 45° $$

答 ： $-\tan 45°$ （ $\tan$ は符号が反転する点に注意）

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Level A（少し簡単）

90°より大きく180°未満の角を、そのまま1つ変換する基本問題です。公式を1回使うだけで解けます。全10問。

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1

$\sin 150°$ を鋭角の三角比で表せ。

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2

$\cos 120°$ を鋭角の三角比で表せ。

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3

$\tan 150°$ を鋭角の三角比で表せ。

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4

$\sin 135°$ を鋭角の三角比で表せ。

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5

$\cos 135°$ を鋭角の三角比で表せ。

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6

$\tan 120°$ を鋭角の三角比で表せ。

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7

$\sin 165°$ を鋭角の三角比で表せ。

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8

$\cos 108°$ を鋭角の三角比で表せ。

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9

$\tan 140°$ を鋭角の三角比で表せ。

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10

$\sin 115°$ を鋭角の三角比で表せ。

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Level B（同じレベル）

Level A と同様に1つずつ変換します。角度の分解（ $180°-\theta$ の $\theta$ を求める）に慣れましょう。全10問。

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11

$\sin 100°$ を鋭角の三角比で表せ。

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12

$\cos 140°$ を鋭角の三角比で表せ。

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13

$\tan 160°$ を鋭角の三角比で表せ。

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14

$\sin 110°$ を鋭角の三角比で表せ。

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15

$\cos 170°$ を鋭角の三角比で表せ。

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16

$\tan 130°$ を鋭角の三角比で表せ。

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17

$\sin 95°$ を鋭角の三角比で表せ。

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18

$\cos 125°$ を鋭角の三角比で表せ。

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19

$\tan 145°$ を鋭角の三角比で表せ。

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20

$\cos 155°$ を鋭角の三角比で表せ。

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Level C（少し難しい）

180°−θ の変換を活用して、式の値を求める問題です。複数の三角比が登場します。全10問。

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21

$\sin 120° + \sin 60°$ の値を求めよ。

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22

$\cos 150° + \cos 30°$ の値を求めよ。

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23

$\sin 135° + \cos 135°$ の値を求めよ。

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24

$\frac{\sin 150°}{\sin 30°}$ の値を求めよ。

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25

$\tan 120° + \tan 60°$ の値を求めよ。

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26

$\sin^2 120° + \cos^2 120°$ の値を求めよ。

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27

$\sin 170° + \sin 10°$ の値を求めよ。

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28

$\cos 140° + \cos 40°$ の値を求めよ。

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29

$\frac{\sin 140°}{\sin 40°}$ の値を求めよ。

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30

$\tan 135° + \tan 45°$ の値を求めよ。

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解くときのポイント

• 補角を意識する ：与えられた角の「補角」（足して180°になる角）はどれか、をまず考える
• まず $180°-\theta$ の形に直す ：与えられた角が何度なら、 $\theta$ が鋭角になるか確認する
• sin はそのまま ：補角の公式 $\sin(180°-\theta)=\sin\theta$ 。符号は変わらない
• cos と tan はマイナス ： $\cos(180°-\theta)=-\cos\theta$ 、 $\tan(180°-\theta)=-\tan\theta$ 。第II象限では x 座標が負になるため
• 単位円のイメージ ：第II象限では y 座標が正・x 座標が負。このイメージがあると補角の公式を忘れにくい

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解答解説

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問1 の解説

$\sin 150°$ を鋭角の三角比で表します。

150° = 180°−30° なので、 $\theta=30°$ です。

$$ \sin 150° = \sin(180°-30°) $$

$\sin(180°-\theta)=\sin\theta$ を使います。

$$ = \sin 30° $$

答 ： $\sin 30°$

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問2 の解説

$\cos 120°$ を鋭角の三角比で表します。

120° = 180°−60° なので、 $\theta=60°$ です。

$$ \cos 120° = \cos(180°-60°) $$

$\cos(180°-\theta)=-\cos\theta$ を使います。

$$ = -\cos 60° $$

答 ： $-\cos 60°$

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問3 の解説

$\tan 150°$ を鋭角の三角比で表します。

150° = 180°−30° なので、 $\theta=30°$ です。

$$ \tan 150° = \tan(180°-30°) $$

$\tan(180°-\theta)=-\tan\theta$ を使います。

$$ = -\tan 30° $$

答 ： $-\tan 30°$

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問4 の解説

$\sin 135°$ を鋭角の三角比で表します。

135° = 180°−45° なので、 $\theta=45°$ です。

$$ \sin 135° = \sin(180°-45°) = \sin 45° $$

答 ： $\sin 45°$

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問5 の解説

$\cos 135°$ を鋭角の三角比で表します。

135° = 180°−45° なので、 $\theta=45°$ です。

$$ \cos 135° = \cos(180°-45°) = -\cos 45° $$

答 ： $-\cos 45°$

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問6 の解説

$\tan 120°$ を鋭角の三角比で表します。

120° = 180°−60° なので、 $\theta=60°$ です。

$$ \tan 120° = \tan(180°-60°) = -\tan 60° $$

答 ： $-\tan 60°$

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問7 の解説

$\sin 165°$ を鋭角の三角比で表します。

165° = 180°−15° なので、 $\theta=15°$ です。

$$ \sin 165° = \sin(180°-15°) = \sin 15° $$

答 ： $\sin 15°$

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問8 の解説

$\cos 108°$ を鋭角の三角比で表します。

108° = 180°−72° なので、 $\theta=72°$ です。

$$ \cos 108° = \cos(180°-72°) = -\cos 72° $$

答 ： $-\cos 72°$

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問9 の解説

$\tan 140°$ を鋭角の三角比で表します。

140° = 180°−40° なので、 $\theta=40°$ です。

$$ \tan 140° = \tan(180°-40°) = -\tan 40° $$

答 ： $-\tan 40°$

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問10 の解説

$\sin 115°$ を鋭角の三角比で表します。

115° = 180°−65° なので、 $\theta=65°$ です。

$$ \sin 115° = \sin(180°-65°) = \sin 65° $$

答 ： $\sin 65°$

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問11 の解説

$\sin 100°$ を鋭角の三角比で表します。

100° = 180°−80° なので、 $\theta=80°$ です。

$$ \sin 100° = \sin(180°-80°) = \sin 80° $$

答 ： $\sin 80°$

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問12 の解説

$\cos 140°$ を鋭角の三角比で表します。

140° = 180°−40° なので、 $\theta=40°$ です。

$$ \cos 140° = \cos(180°-40°) = -\cos 40° $$

答 ： $-\cos 40°$

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問13 の解説

$\tan 160°$ を鋭角の三角比で表します。

160° = 180°−20° なので、 $\theta=20°$ です。

$$ \tan 160° = \tan(180°-20°) = -\tan 20° $$

答 ： $-\tan 20°$

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問14 の解説

$\sin 110°$ を鋭角の三角比で表します。

110° = 180°−70° なので、 $\theta=70°$ です。

$$ \sin 110° = \sin(180°-70°) = \sin 70° $$

答 ： $\sin 70°$

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問15 の解説

$\cos 170°$ を鋭角の三角比で表します。

170° = 180°−10° なので、 $\theta=10°$ です。

$$ \cos 170° = \cos(180°-10°) = -\cos 10° $$

答 ： $-\cos 10°$

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問16 の解説

$\tan 130°$ を鋭角の三角比で表します。

130° = 180°−50° なので、 $\theta=50°$ です。

$$ \tan 130° = \tan(180°-50°) = -\tan 50° $$

答 ： $-\tan 50°$

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問17 の解説

$\sin 95°$ を鋭角の三角比で表します。

95° = 180°−85° なので、 $\theta=85°$ です。

$$ \sin 95° = \sin(180°-85°) = \sin 85° $$

答 ： $\sin 85°$

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問18 の解説

$\cos 125°$ を鋭角の三角比で表します。

125° = 180°−55° なので、 $\theta=55°$ です。

$$ \cos 125° = \cos(180°-55°) = -\cos 55° $$

答 ： $-\cos 55°$

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問19 の解説

$\tan 145°$ を鋭角の三角比で表します。

145° = 180°−35° なので、 $\theta=35°$ です。

$$ \tan 145° = \tan(180°-35°) = -\tan 35° $$

答 ： $-\tan 35°$

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問20 の解説

$\cos 155°$ を鋭角の三角比で表します。

155° = 180°−25° なので、 $\theta=25°$ です。

$$ \cos 155° = \cos(180°-25°) = -\cos 25° $$

答 ： $-\cos 25°$

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問21 の解説

$\sin 120° + \sin 60°$ の値を求めます。

$\sin 120° = \sin(180°-60°) = \sin 60°$ なので、

$$ \sin 120° + \sin 60° = \sin 60° + \sin 60° = 2\sin 60° $$

$$ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$

答 ： $\sqrt{3}$

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問22 の解説

$\cos 150° + \cos 30°$ の値を求めます。

$\cos 150° = \cos(180°-30°) = -\cos 30°$ なので、

$$ \cos 150° + \cos 30° = -\cos 30° + \cos 30° = 0 $$

答 ： $0$

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問23 の解説

$\sin 135° + \cos 135°$ の値を求めます。

$\sin 135° = \sin(180°-45°) = \sin 45°$

$\cos 135° = \cos(180°-45°) = -\cos 45°$

したがって、

$$ \sin 135° + \cos 135° = \sin 45° + (-\cos 45°) = \frac{1}{\sqrt{2}} – \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 $$

答 ： $0$

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問24 の解説

$\frac{\sin 150°}{\sin 30°}$ の値を求めます。

$\sin 150° = \sin(180°-30°) = \sin 30°$ なので、

$$ \frac{\sin 150°}{\sin 30°} = \frac{\sin 30°}{\sin 30°} = 1 $$

答 ： $1$

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問25 の解説

$\tan 120° + \tan 60°$ の値を求めます。

$\tan 120° = \tan(180°-60°) = -\tan 60°$ なので、

$$ \tan 120° + \tan 60° = -\tan 60° + \tan 60° = 0 $$

答 ： $0$

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問26 の解説

$\sin^2 120° + \cos^2 120°$ の値を求めます。

三角比の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ は、 $\theta$ が何度でも成り立ちます。

$\theta = 120°$ として、

$$ \sin^2 120° + \cos^2 120° = 1 $$

答 ： $1$

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問27 の解説

$\sin 170° + \sin 10°$ の値を求めます。

$\sin 170° = \sin(180°-10°) = \sin 10°$ なので、

$$ \sin 170° + \sin 10° = \sin 10° + \sin 10° = 2\sin 10° $$

答 ： $2\sin 10°$

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問28 の解説

$\cos 140° + \cos 40°$ の値を求めます。

$\cos 140° = \cos(180°-40°) = -\cos 40°$ なので、

$$ \cos 140° + \cos 40° = -\cos 40° + \cos 40° = 0 $$

答 ： $0$

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問29 の解説

$\frac{\sin 140°}{\sin 40°}$ の値を求めます。

$\sin 140° = \sin(180°-40°) = \sin 40°$ なので、

$$ \frac{\sin 140°}{\sin 40°} = \frac{\sin 40°}{\sin 40°} = 1 $$

答 ： $1$

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問30 の解説

$\tan 135° + \tan 45°$ の値を求めます。

$\tan 135° = \tan(180°-45°) = -\tan 45°$ なので、

$$ \tan 135° + \tan 45° = -\tan 45° + \tan 45° = 0 $$

答 ： $0$

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一緒に強くなろう

30問すべてやり切ったあなたは、もう「180°−θ の変換」で手が止まることはありません。

この単元でつまずいている友達、周りにいませんか？ 「 $\cos$ と $\tan$ にマイナスがつく」ところで迷う人が多いです。

ここまで解いたあなたは、第II象限のイメージまで身についています。もし同じところで困っている友達がいたら、このページの URL を送ってあげてください。LINE でリンクを貼るだけでOKです。

実は、一番力がつく勉強法は「人に教えること」です。友達に「第II象限では x 座標が負だから、 $\cos$ にマイナスがつくんだよ」と自分の言葉で説明できたら、その知識は完全にあなたのものです。

もっと自分に合った問題がほしいときは、コスタバのオンライン自習室で気軽に相談できます。→ https://costuba.online/