賛成率の増加を仮説検定で判定する

1. 賛成率の増加を仮説検定で判定する｜問題325の解説

この記事を読むと、住民投票の賛成率が増えたかを、仮説検定と度数分布表で判定する手順がわかります。

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【問題】

ある市のシンボルである塔 T が老朽化している。最初の住民投票では、住民の $\frac{1}{8}$ が塔 T の取り壊しに賛成した。2年後、100人の住民を無作為に抽出して調査したところ、19人が取り壊しに賛成と答えた。この結果から、塔 T の取り壊しに賛成する人の割合は増加したといえるか。仮説検定の考え方を用いて答えよ。ただし、基準となる確率は $0.05$ とする。

次の表は、公正な8面さいころを100回投げて1の目が出た回数を記録する実験を800回行った結果である。この表を用いてよい。

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まずは、8面さいころの1の目が $\frac{1}{8}$ の確率と住民の賛成率 $\frac{1}{8}$ の対応を押さえて、自分の力で解いてみてください。

いまから解説します。自分の力で解きましたか？

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【解説と解答】仮説検定で賛成率の増加を判定する

導入：なぜ8面さいころの表を使うのか

住民の賛成率が $\frac{1}{8}$ のとき、100人を無作為に調査して賛成者が $X$ 人になる確率は、二項分布 $\mathrm{B}(100, \frac{1}{8})$ に従います。

一方、8面さいころの1の目が出る確率も $\frac{1}{8}$ です。100回投げて1の目が出た回数も、同じく $\mathrm{B}(100, \frac{1}{8})$ に従います。

だから、問題の度数分布表は「賛成率が $\frac{1}{8}$ のとき、100人中 $X$ 人が賛成した」という状況のシミュレーションとして使えます。

取っ掛かりのステップ：

1. 帰無仮説と対立仮説を立てる（賛成率は $\frac{1}{8}$ のままか、増えたか）
2. 観測値は 19 人。賛成率が増えたかを調べるので、19 人以上の確率が重要
3. 度数分布表から、19 人以上の相対度数（割合）を求める
4. その割合が 0.05 より小さいかで判定する

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使う武器（公式・定理）

• 仮説検定：帰無仮説（変化なし）を立て、観測値が「まれにしか起きないか」を確率で判定する
• 有意水準 0.05：確率が 0.05 より小さいとき、帰無仮説を棄却する（変化ありと判断する）
• 二項分布：$n$ 回の試行で確率 $p$ の事象が $X$ 回起きるとき、$X \sim \mathrm{B}(n, p)$
• 8面さいころの1の目：確率 $\frac{1}{8}$。100回投げた回数は $\mathrm{B}(100, \frac{1}{8})$ に従う

既習の方はこのセクションを読み飛ばして構いません。

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思考のプロセス（Step by Step）

ステップ1：帰無仮説と対立仮説

• 帰無仮説 $H_0$：賛成率は $\frac{1}{8}$ のまま（変化なし）
• 対立仮説 $H_1$：賛成率は増加した（$\frac{1}{8}$ より大きい）

「増加したといえるか」を判定するので、片側検定です。

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ステップ2：観測値と「まれさ」の基準

観測値は 19 人が賛成です。賛成率が増えたかを調べるので、19 人以上の確率（$P(X \geq 19)$）が小さければ、帰無仮説を棄却します。

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ステップ3：度数分布表から 19 人以上の割合を求める

度数分布表は、$\mathrm{B}(100, \frac{1}{8})$ に従う試行を 800 回シミュレーションした結果です。19 人以上の度数は、

$$ 11 + 7 + 5 + 3 + 1 = 27 $$

（19 人：11 回、20 人：7 回、21 人：5 回、22 人：3 回、23 人：1 回）

したがって、19 人以上の相対度数（割合）は、

$$ \frac{27}{800} = 0.03375 $$

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ステップ4：有意水準で判定する

基準となる確率（有意水準）は $0.05$ です。

$$ 0.03375 < 0.05 $$

なので、帰無仮説を棄却します。

答：塔 T の取り壊しに賛成する人の割合は増加したといえる。

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【まとめ】仮説検定で賛成率の増加を判定するポイント

• 帰無仮説：賛成率は $\frac{1}{8}$ のまま（変化なし）
• 対立仮説：賛成率は増加した（片側検定）
• 8面さいころの表：$\mathrm{B}(100, \frac{1}{8})$ のシミュレーション。賛成率 $\frac{1}{8}$ のときの100人中の賛成者数に相当
• 19 人以上の割合：$\frac{27}{800} = 0.03375$
• 判定：$0.03375 < 0.05$ なので帰無仮説を棄却。賛成率は増加したといえる

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【解き直しのすすめ】本当に理解できているか確認する

「わかったつもり」を防ぐには、何も見ずに自分の手で解き直すことが大切です。

解説を読む（インプット）と、自分で解く（アウトプット）は別の力です。解説を見ながらだと「理解した気」になってしまいます。

明日、何も見ずにこの問題が解けるかテストしてみてください。それが本当の実力です。

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スペシャリストの視点

仮説検定は、アンケート結果や品質管理など、実務でよく使われます。「割合が増えたか」を判定するとき、「たまたま」の可能性を確率で評価する発想が重要です。有意水準 0.05 は「5% 以下のまれさなら、変化ありと判断する」という基準で、社会調査や医学研究でも広く使われています。

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【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】

□ 問題：この問題で、なぜ8面さいころの度数分布表を使うか？

□ 答：8面さいころの1の目は確率 $\frac{1}{8}$。100回投げた回数は $\mathrm{B}(100, \frac{1}{8})$ に従い、賛成率 $\frac{1}{8}$ のときの100人中の賛成者数と同じ分布になる。

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□ 問題：帰無仮説と対立仮説は？

□ 答：$H_0$：賛成率は $\frac{1}{8}$ のまま。$H_1$：賛成率は増加した（片側検定）。

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□ 問題：観測値は19人。なぜ「19人以上」の確率を考えるか？

□ 答：賛成率が増えたかを調べるので、19人以上という「多い方」の確率が重要。これが小さいと、帰無仮説を棄却する。

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□ 問題：19人以上の度数は？（度数分布表から）

□ 答：19→11、20→7、21→5、22→3、23→1。合計 27。

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□ 問題：19人以上の相対度数（割合）は？

□ 答：$\frac{27}{800} = 0.03375$。

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□ 問題：有意水準 0.05 で判定するとは？

□ 答：求めた確率（割合）が 0.05 より小さいとき、帰無仮説を棄却する。今回は $0.03375 < 0.05$ なので棄却。

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□ 問題：結論は？

□ 答：賛成率は増加したといえる。

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□ 問題：$n$ 回の試行で確率 $p$ の事象が $X$ 回起きるとき、$X$ の分布は？

□ 答：二項分布 $\mathrm{B}(n, p)$。

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□ 問題：片側検定と両側検定の違いは？

□ 答：片側検定は「増えたか」「減ったか」の一方だけを調べる。両側検定は「変化したか」を調べる。

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【友達に教えてあげよう】

仮説検定の考え方でつまずいている友達、周りにいませんか？8面さいころの表を使う理由から、判定の流れまで一気に押さえられる解説です。

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人に教えると、自分の理解が深まります。ラーニングピラミッドでも「教える」が最も定着率の高い学習法といわれています。このページのURLを送るだけでなく、友達に解き方を自分の言葉で説明してみてください。教えるつもりで解くと、曖昧だった部分がはっきりします。説明できたら、本物の理解です。

もし周りに同じ問題で悩んでいる友達がいたら、このページのURLを送ってあげてください。あなたの一言が、友達の「わからない」を「わかった！」に変えるかもしれません。