【問題】
隣り合う2辺の長さの和が 16 cm の長方形において、面積を 48 cm$^2$ 以上 60 cm$^2$ 以下にするには、短い方の辺の長さをどのような範囲にとればよいか。
【解答】
4 cm 以上 6 cm 以下
導入
こんにちは、スマスクです！ この記事では、長方形の面積に関する2次不等式の応用問題について解説します 📝。 「短い方の辺の長さを $x$ とおく」ことからスタートし、条件式を立てて不等式を解くまでのプロセスを、ステップごとに丁寧に見ていきましょう。 文章題を数式に翻訳する力が身につきますよ！
各問題の解説
考え方のポイント
この問題を解く流れは以下の通りです。
- 変数を設定する: 短い方の辺の長さを $x$ cm とおきます。
- もう一方の辺を表す: 「隣り合う2辺の和が16」という条件から、もう一方の辺（長い方）の長さを $x$ で表します。
- 変域（xの範囲）を確認する: 辺の長さは正であり、かつ「短い方」という条件があるため、$x$ には制限がつきます。ここが重要ポイントです！
- 不等式を立てる: 「面積が48以上60以下」という条件を式にします。
- 不等式を解く: 連立不等式を解き、変域と合わせて最終的な答えを出します。
長方形の辺の長さの範囲
詳しい解説:
ステップ1：変数の設定と変域の確認 短い方の辺の長さを $x$ cm とします。 隣り合う2辺の和が 16 cm なので、もう一方の辺（長い方）の長さは $(16 – x)$ cm となります。
ここで、$x$ のとりうる範囲（変域）を考えます。
- 辺の長さは正なので、$x > 0$ かつ $16 – x > 0$ $\implies$ $0 < x < 16$
- $x$ は「短い方の辺」なので、$x \le 16 – x$ これを解くと $2x \le 16$ $\implies$ $x \le 8$
1と2を合わせると、$x$ の変域は $$0 < x \le 8 \quad \cdots ①$$ となります。
ステップ2：不等式を立てる 長方形の面積は (縦) $\times$ (横) なので、 面積 $= x(16-x) = -x^2 + 16x$ です。 この面積が 48 cm$^2$ 以上 60 cm$^2$ 以下になるので、 $$48 \le -x^2 + 16x \le 60$$ という連立不等式が立ちます。
ステップ3：不等式を解く この連立不等式を2つに分けて解きます。
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$-x^2 + 16x \ge 48$ 移項して整理すると、 $$x^2 – 16x + 48 \le 0$$ 因数分解します。 $$(x – 4)(x – 12) \le 0$$ よって、 $$4 \le x \le 12 \quad \cdots ②$$
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$-x^2 + 16x \le 60$ 移項して整理すると、 $$x^2 – 16x + 60 \ge 0$$ 因数分解します。 $$(x – 6)(x – 10) \ge 0$$ よって、 $$x \le 6, \quad 10 \le x \quad \cdots ③$$
ステップ4：共通範囲を求める ①、②、③のすべての共通範囲を数直線上で考えます。
- ① $0 < x \le 8$
- ② $4 \le x \le 12$
- ③ $x \le 6, 10 \le x$
これらすべてが重なる範囲は、 $$4 \le x \le 6$$ となります。
答え: 4 cm 以上 6 cm 以下
2次不等式の応用問題まとめ
- 文章題では、まず求めたいものを変数（$x$）でおきます。
- 変域（定義域）の確認を忘れずに！特に図形の問題では「長さが正」「大小関係」などの隠れた条件があります。
- 条件を不等式で表し、それを解いた後、最初に確認した変域との共通部分を答えとします。
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