入学試験の得点が正規分布とみなせるとき、偏差値・順位・合格最低点を求める典型問題です。偏差値の定義から始め、標準化の考え方を使って解いていきましょう。
【問題】
ある大学で $500$ 点満点の入学試験を行った。受験者の得点の平均点は $260$ 点、標準偏差は $60$ 点であった。受験者の総数は $6000$ 人で、得点の分布は正規分布とみなせるとき、次の問いに答えよ。
(1) 確率変数 $X$ について、平均を $m$、標準偏差を $\sigma$ とするとき、
$$ T = 50 + \frac{X – m}{\sigma} \times 10 $$
で定まる確率変数 $T$ を偏差値という。$T$ の平均と標準偏差を答えよ。（答えのみで可）
(2) この入学試験で偏差値が $60$ 以上となるためには、何点以上得点すればよいか。
(3) 得点が $290$ 点の受験者は、受験者の中で上から約何番目と考えられるか。
(4) 定員が $1830$ 人であるとき、合格最低点は約何点になるか。
まずは、自分の力で解けるかチャレンジしてみましょう。偏差値の定義と正規分布表の読み方がポイントです。
いまから解説します。自分の力で一度解いてみましたか？
【解説と解答】偏差値・順位・合格最低点の求め方
導入
入学試験のような大規模な試験では、得点分布を正規分布とみなして計算することがよくあります。偏差値は「平均 $50$、標準偏差 $10$ に揃えた値」であり、異なる試験間でも「自分がどのくらいの位置にいるか」を比較できる便利な尺度です。この問題では、偏差値の定義から出発し、得点→偏差値、得点→順位、定員→合格最低点へと、一気に求めていく流れを押さえましょう。
使う武器（公式・定理）
- 偏差値の定義
$$ T = 50 + 10 \times \frac{X – m}{\sigma} $$
$X$ の平均を $m$、標準偏差を $\sigma$ とするとき、 $T$ は偏差値となる。
- 線形変換の性質
$Y = aX + b$ のとき、
- $E(Y) = a \cdot E(X) + b$
- $V(Y) = a^2 \cdot V(X)$、したがって $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma_X$
- 標準化
$Z = \frac{X – m}{\sigma}$ とおくと、 $Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。正規分布表はこの $Z$ の値に対応する確率を読み取る。
- 正規分布表の使い方
$P(Z \geq z)$ や $P(Z \leq z)$ を、 $0$ から $z$ までの面積 $P(0 \leq Z \leq z)$ から求める。
既習の方は、この部分は読み飛ばして構いません。
思考のプロセス（Step by Step）
(1) $T$ の平均と標準偏差
$T = 50 + 10 \cdot \frac{X – m}{\sigma}$ において、$\frac{X – m}{\sigma}$ を $Z$ とおくと $T = 50 + 10Z$ です。
$Z$ は標準化した変数なので、 $E(Z) = 0$、 $V(Z) = 1$（標準偏差 $1$）です。
$T$ の平均
$$ E(T) = E(50 + 10Z) = 50 + 10 \cdot E(Z) = 50 + 10 \times 0 = 50 $$
$T$ の標準偏差
$V(T) = V(10Z) = 100 \cdot V(Z) = 100 \times 1 = 100$ より、
$$ \sigma_T = \sqrt{100} = 10 $$
答：平均 $50$、標準偏差 $10$
(2) 偏差値 $60$ 以上となる得点
偏差値 $T = 60$ のときの得点を求めればよいです。
$$ 50 + 10 \cdot \frac{X – 260}{60} = 60 $$
$$ 10 \cdot \frac{X – 260}{60} = 10 $$
$$ \frac{X – 260}{60} = 1 $$
$$ X – 260 = 60 $$
$$ X = 320 $$
偏差値は $X$ について単調増加なので、偏差値 $60$ 以上 ⇔ 得点 $320$ 点以上です。
答：$320$ 点以上
(3) $290$ 点の受験者の順位（上から何番目か）
$290$ 点以上の人数が「上から何番目」に該当します。標準化して正規分布表を利用します。
$$ z = \frac{290 – 260}{60} = \frac{30}{60} = 0.5 $$
$P(X \geq 290) = P(Z \geq 0.5)$ を求めます。
正規分布表より $P(0 \leq Z \leq 0.5) \approx 0.1915$ です。（※標準的な表では $0.5$ のとき $0.1915$ などと与えられる。$P(Z \geq 0) = 0.5$ なので、 $P(Z \geq 0.5) = 0.5 – 0.1915 = 0.3085$。）
実際には、多くの正規分布表では $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ の形で与えられ、 $\Phi(0.5) \approx 0.6915$ です。このとき、
$$ P(Z \geq 0.5) = 1 – \Phi(0.5) \approx 1 – 0.6915 = 0.3085 $$
したがって、$290$ 点以上を取る受験者の割合は約 $30.85 \%$ です。
$$ 6000 \times 0.3085 \approx 1851 $$
$290$ 点の受験者は、$290$ 点以上の約 $1851$ 人の中に含まれるため、上から約 $1850$ 番目と考えられます。
答：上から約 $1850$ 番目
(4) 定員 $1830$ 人のときの合格最低点
上位 $1830$ 人が合格するので、合格者は全体の $1830/6000 = 0.305$、すなわち上位 $30.5 \%$ です。
合格最低点を $x$ 点とすると、 $P(X \geq x) = 0.305$ となる $x$ を求めます。
標準化して $z = \frac{x – 260}{60}$ とおくと、 $P(Z \geq z) = 0.305$ です。
$P(Z \leq z) = 1 – 0.305 = 0.695$ となる $z$ を正規分布表から読み取ります。
$\Phi(0.5) \approx 0.6915$、 $\Phi(0.52) \approx 0.6985$ などから、 $0.695$ に近いのは $z \approx 0.51$ です。
$$ z = \frac{x – 260}{60} \approx 0.51 $$
$$ x – 260 \approx 30.6 $$
$$ x \approx 290.6 $$
四捨五入して、合格最低点は約 $291$ 点です。
答：約 $291$ 点
解答（まとめ）
- (1) $T$ の平均 $50$、標準偏差 $10$
- (2) $320$ 点以上
- (3) 上から約 $1850$ 番目
- (4) 約 $291$ 点
【まとめ】正規分布と偏差値のポイント
- 偏差値は、得点を「平均 $50$、標準偏差 $10$」の尺度に変換した値。定義式 $T = 50 + 10 \cdot \frac{X – m}{\sigma}$ から、 $T$ の平均は $50$、標準偏差は $10$。
- 偏差値から得点へ： $T$ についての式を $X$ について解く。
- 得点から順位へ：標準化 $Z = \frac{X – m}{\sigma}$ で正規分布表を使い、 $P(X \geq x)$ を求める。その割合に総人数を掛けると「上からの人数」になる。
- 定員から合格最低点へ：合格割合 $=$ 定員 / 総人数 から $P(X \geq x)$ を決め、正規分布表で $z$ を逆算し、 $x = m + z\sigma$ で求める。
【解き直しのすすめ】
「わかったつもり」と「本番で解ける」は別物です。解説を読んだだけでは、数値を変えた類似問題でつまずくことが多いです。
明日、何も見ずにこの問題が解けるかテストしてみてください。偏差値の定義→線形変換の性質→標準化→正規分布表。この流れを自分の手で再現できるか。それが本当の実力です。
【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】
□ 問題：偏差値 $T$ の定義式は？
□ 答：$T = 50 + 10 \cdot \frac{X – m}{\sigma}$。$X$ の平均を $m$、標準偏差を $\sigma$ とする。
□ 問題：偏差値 $T$ の平均と標準偏差はそれぞれいくつか？
□ 答：平均 $50$、標準偏差 $10$。標準化した $Z = \frac{X-m}{\sigma}$ の平均 $0$、標準偏差 $1$ を $10$ 倍して $50$ を足すため。
□ 問題：$Y = aX + b$ のとき、 $Y$ の分散は $X$ の分散とどう関係するか？
□ 答：$V(Y) = a^2 V(X)$。定数 $b$ は分散に影響しない。
□ 問題：正規分布で「標準化」とは何か？
□ 答：$Z = \frac{X – m}{\sigma}$ とおく変換。$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従い、正規分布表が使えるようになる。
□ 問題：得点 $x$ の受験者が「上から何番目か」を求める手順は？
□ 答：$z = (x – m)/\sigma$ を計算し、$P(Z \geq z)$ を正規分布表で求める。その割合に総人数を掛けると、$x$ 点以上の人数（＝上からの順位の目安）になる。
□ 問題：合格最低点を求めるとき、合格割合はどう表されるか？
□ 答：合格割合 $=$ 定員 $/$ 総人数。この値が $P(X \geq x)$ になる。
□ 問題：$P(Z \geq z) = 0.305$ から得点 $x$ を求めるには？
□ 答：$P(Z \leq z) = 0.695$ となる $z$ を正規分布表で読み取り、$x = m + z\sigma$ に代入する。
□ 問題：偏差値 $60$ の得点を求める式変形のポイントは？
□ 答：$50 + 10 \cdot \frac{X – m}{\sigma} = 60$ から $\frac{X – m}{\sigma} = 1$ となり、$X – m = \sigma$、つまり $X = m + \sigma$ と解く。
□ 問題：正規分布表で $\Phi(0.5)$ はおよそいくつか？
□ 答：約 $0.6915$。$P(Z \leq 0.5)$ の値である。
□ 問題：$z = 0.5$ のとき、$P(Z \geq 0.5)$ はおよそいくつか？
□ 答：約 $0.3085$。$1 – \Phi(0.5) \approx 1 – 0.6915$ で求まる。
【友達に教えてあげよう】
正規分布と偏差値で悩んでいる友達、周りにいませんか？ この解説を読んだあなたは、偏差値の定義から順位、合格最低点まで一気に求める流れを理解できています。
実は、一番力がつく勉強法は「人に教えること」です。友達に解き方を自分の言葉で説明してみてください。説明しようとすると、曖昧だった部分がはっきりしてきます。
もし周りに同じ問題で悩んでいる友達がいたら、このページの URL を送ってあげてください。あなたの一言が、友達の「わからない」を「わかった！」に変えるかもしれません。
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