a+b の期待値

問題

2つの袋A, Bがあり, 袋Aの中には $\boxed{1}, \boxed{1}, \boxed{2}, \boxed{2}$ の合計4枚のカード, 袋Bの中には $\boxed{1}, \boxed{2}, \boxed{3}, \boxed{3}$ の合計4枚のカードが入っている。袋Aと袋Bからカードを1枚ずつ取り出し, 袋Aから取り出したカードに書かれている数を $a$, 袋Bから取り出したカードに書かれている数を $b$ とする。

(1) $a+b=2$ となる確率を求めよ。 (2) $a+b=3$ となる確率を求めよ。また, $a+b$ の期待値を求めよ。

解答

• (1) $\frac{1}{8}$
• (2) 確率は $\frac{1}{4}$、期待値は $\frac{15}{4}$

導入

この記事では、2つの袋からカードを引く設定を通じて、基本的な確率の計算方法と期待値の求め方について解説します。 確率の計算では「積の法則」と「和の法則」を、期待値の計算では「確率分布表」を用いた定義通りの計算方法を確認していきます。

各問題の解説

(1) $a+b=2$ となる確率

小問と答え (1) $a+b=2$ となる確率を求めよ。 答え: $\frac{1}{8}$

詳しい解説 まず、それぞれの袋から特定の数字を引く確率を整理します。

• 袋A
  • 「1」を引く確率 $P(a=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
  • 「2」を引く確率 $P(a=2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• 袋B
  • 「1」を引く確率 $P(b=1) = \frac{1}{4}$
  • 「2」を引く確率 $P(b=2) = \frac{1}{4}$
  • 「3」を引く確率 $P(b=3) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

ステップ1：条件に合う組み合わせを考える 和が2になるのは、$a=1$ かつ $b=1$ の場合のみです。

ステップ2：確率を計算する 袋Aから引く事象と袋Bから引く事象は互いに独立なので、両方が同時に起こる確率はそれぞれの確率の掛け算（積の法則）で求められます。 $$P(a=1 \text{ and } b=1) = P(a=1) \times P(b=1)$$ $$= \frac{2}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \bf{\frac{1}{8}}$$

(2) $a+b=3$ となる確率と期待値

$a+b=3$ となる確率

答え: $\frac{1}{4}$

詳しい解説 ステップ1：条件に合う組み合わせを考える 和が3になるのは、以下の2つのパターンが考えられます。

• パターンA: $a=1$ かつ $b=2$
• パターンB: $a=2$ かつ $b=1$

ステップ2：各パターンの確率を計算する

• パターンAの確率: $P(a=1) \times P(b=2) = \frac{2}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{16}$
• パターンBの確率: $P(a=2) \times P(b=1) = \frac{2}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{16}$

ステップ3：確率を合計する パターンAとパターンBは同時には起こらない（互いに排反な）事象なので、求める確率は両者の確率の足し算（和の法則）で求められます。 $$P(a+b=3) = (\text{パターンAの確率}) + (\text{パターンBの確率})$$ $$= \frac{2}{16} + \frac{2}{16} = \frac{4}{16} = \bf{\frac{1}{4}}$$

$a+b$ の期待値

答え: $\frac{15}{4}$

詳しい解説 期待値を求めるには、まず和 $a+b$ がとりうる全ての値と、その確率をまとめた確率分布表を作成します。

ステップ1：$a+b$ がとりうる全ての値を求める

• $a=1, b=1 \to 2$
• $a=1, b=2 \to 3$
• $a=1, b=3 \to 4$
• $a=2, b=1 \to 3$
• $a=2, b=2 \to 4$
• $a=2, b=3 \to 5$ よって、和 $a+b$ がとりうる値は 2, 3, 4, 5 の4種類です。

ステップ2：それぞれの値になる確率を計算する

• $P(a+b=2) = \frac{1}{8}$ （(1)で計算済み）
• $P(a+b=3) = \frac{1}{4}$ （上で計算済み）
• $P(a+b=5)$: $a=2, b=3$ の場合のみ。 $P(a=2) \times P(b=3) = \frac{2}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
• $P(a+b=4)$: 残りの確率。全ての確率の和は1になるので、 $1 – P(2) – P(3) – P(5) = 1 – \frac{1}{8} – \frac{1}{4} – \frac{1}{4} = 1 – (\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{2}{8}) = 1 – \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

ステップ3：確率分布表を作成する

ステップ4：期待値を計算する 期待値は「(値) × (その値になる確率)」を全て足し合わせることで求められます。 $$E(a+b) = \left(2 \times \frac{1}{8}\right) + \left(3 \times \frac{1}{4}\right) + \left(4 \times \frac{3}{8}\right) + \left(5 \times \frac{1}{4}\right)$$分母を8に揃えて計算します。$$= \frac{2}{8} + \frac{6}{8} + \frac{12}{8} + \frac{10}{8} = \frac{2+6+12+10}{8} = \frac{30}{8} = \bf{\frac{15}{4}}$$

まとめ

• 独立な事象AとBが両方起こる確率は、それぞれの確率の掛け算（積の法則）で求めます。
• 同時に起こらない事象AとBのどちらかが起こる確率は、それぞれの確率の足し算（和の法則）で求めます。
• 期待値は、「(値)×(確率)」の総和として定義され、確率分布表を作成すると計算しやすくなります。