次の各データについて、平均値、分散、標準偏差を求めよ。
解答フォーマット
以下の Step 1〜4 の順で解答すること。
Step 1 平均値を求める
$$ \bar{x} = \frac{\text{データの合計}}{\text{個数}} \quad \text{（単位はデータと同じ）} $$
Step 2 偏差と偏差の2乗の表を作る
| 値 | （各データを横に並べる） |
|---|---|
| 偏差 | （各偏差を横に並べる。単位はデータと同じ） |
| 偏差の2乗 | （各偏差の2乗を横に並べる。単位はデータの2乗） |
Step 3 偏差の2乗の平均値（分散）を求める
$$ s^2 = \frac{\text{偏差の2乗の合計}}{\text{個数}} $$
Step 4 偏差の2乗の平均値の平方根（標準偏差）を求める
$$ s = \sqrt{s^2} \quad \text{（単位はデータと同じ。偏差と平均値と同じ次元）} $$
ルートのまま計算できるところまで計算する。小数近似は用いない。
1
$3$ 人のテストの得点が $50, 60, 70$ 点だった。
2
$5$ 人の身長（cm）が $158, 162, 165, 168, 172$ である。
3
$4$ 人が 1 週間に読んだ本の冊数が $3, 5, 7, 9$ 冊であった。
4
$3$ 人が同じ小テストを受け、得点は $8, 10, 12$ 点であった。
5
$5$ 日間の家庭学習時間が $2, 4, 6, 8, 10$ 時間であった。
6
$4$ 人の体重（kg）が $54, 58, 60, 64$ である。
解答
問1
Step 1 平均値を求める
$$ \bar{x} = \frac{50 + 60 + 70}{3} = \frac{180}{3} = 60 \text{（点）} $$
Step 2 偏差と偏差の2乗の表
| 値（点） | $50$ | $60$ | $70$ |
|---|---|---|---|
| 偏差（点） | $-10$ | $0$ | $10$ |
| 偏差の2乗 | $100$ | $0$ | $100$ |
Step 3 偏差の2乗の平均値（分散）
$$ s^2 = \frac{100 + 0 + 100}{3} = \frac{200}{3} \text{（点}^2\text{）} $$
Step 4 偏差の2乗の平均値の平方根（標準偏差）
$$ s = \sqrt{\frac{200}{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \text{（点）} $$
平均値・偏差・標準偏差はいずれも「点」で、同じ次元（単位）をもつ。
問2
Step 1 平均値を求める
$$ \bar{x} = \frac{158 + 162 + 165 + 168 + 172}{5} = \frac{825}{5} = 165 \text{（cm）} $$
Step 2 偏差と偏差の2乗の表
| 値（cm） | $158$ | $162$ | $165$ | $168$ | $172$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 偏差（cm） | $-7$ | $-3$ | $0$ | $3$ | $7$ |
| 偏差の2乗 | $49$ | $9$ | $0$ | $9$ | $49$ |
Step 3 偏差の2乗の平均値（分散）
$$ s^2 = \frac{49 + 9 + 0 + 9 + 49}{5} = \frac{116}{5} \text{（cm}^2\text{）} $$
Step 4 偏差の2乗の平均値の平方根（標準偏差）
$$ s = \frac{2\sqrt{145}}{5} \text{（cm）} $$
平均値・偏差・標準偏差はいずれも「cm」で、同じ次元（単位）をもつ。
問3
Step 1 平均値を求める
$$ \bar{x} = \frac{3 + 5 + 7 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6 \text{（冊）} $$
Step 2 偏差と偏差の2乗の表
| 値（冊） | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|
| 偏差（冊） | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ |
| 偏差の2乗 | $9$ | $1$ | $1$ | $9$ |
Step 3 偏差の2乗の平均値（分散）
$$ s^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5 \text{（冊}^2\text{）} $$
Step 4 偏差の2乗の平均値の平方根（標準偏差）
$$ s = \sqrt{5} \text{（冊）} $$
平均値・偏差・標準偏差はいずれも「冊」で、同じ次元（単位）をもつ。
問4
Step 1 平均値を求める
$$ \bar{x} = \frac{8 + 10 + 12}{3} = \frac{30}{3} = 10 \text{（点）} $$
Step 2 偏差と偏差の2乗の表
| 値（点） | $8$ | $10$ | $12$ |
|---|---|---|---|
| 偏差（点） | $-2$ | $0$ | $2$ |
| 偏差の2乗 | $4$ | $0$ | $4$ |
Step 3 偏差の2乗の平均値（分散）
$$ s^2 = \frac{4 + 0 + 4}{3} = \frac{8}{3} \text{（点}^2\text{）} $$
Step 4 偏差の2乗の平均値の平方根（標準偏差）
$$ s = \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{（点）} $$
平均値・偏差・標準偏差はいずれも「点」で、同じ次元（単位）をもつ。
問5
Step 1 平均値を求める
$$ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 \text{（時間）} $$
Step 2 偏差と偏差の2乗の表
| 値（時間） | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 偏差（時間） | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ |
| 偏差の2乗 | $16$ | $4$ | $0$ | $4$ | $16$ |
Step 3 偏差の2乗の平均値（分散）
$$ s^2 = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8 \text{（時間}^2\text{）} $$
Step 4 偏差の2乗の平均値の平方根（標準偏差）
$$ s = 2\sqrt{2} \text{（時間）} $$
平均値・偏差・標準偏差はいずれも「時間」で、同じ次元（単位）をもつ。
問6
Step 1 平均値を求める
$$ \bar{x} = \frac{54 + 58 + 60 + 64}{4} = \frac{236}{4} = 59 \text{（kg）} $$
Step 2 偏差と偏差の2乗の表
| 値（kg） | $54$ | $58$ | $60$ | $64$ |
|---|---|---|---|---|
| 偏差（kg） | $-5$ | $-1$ | $1$ | $5$ |
| 偏差の2乗 | $25$ | $1$ | $1$ | $25$ |
Step 3 偏差の2乗の平均値（分散）
$$ s^2 = \frac{25 + 1 + 1 + 25}{4} = \frac{52}{4} = 13 \text{（kg}^2\text{）} $$
Step 4 偏差の2乗の平均値の平方根（標準偏差）
$$ s = \sqrt{13} \text{（kg）} $$
平均値・偏差・標準偏差はいずれも「kg」で、同じ次元（単位）をもつ。
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