【数学I】2次不等式の解から係数a,b,cを求める方法！解と係数の関係で攻略

詳しい解説: ステップ1：不等式の解からグラフをイメージする 解が $$-3

1. グラフが下に凸で、不等号が $< 0$ のとき
2. グラフが上に凸で、不等号が $> 0$ のとき のどちらかです。 問題の不等式は $$ax^2+2x+c<0$$ で、不等号は $< 0$ です。したがって、グラフは下に凸でなければなりません。つまり、$a > 0$ という条件がつきます。

ステップ2：2次方程式の解として考える 境界値である $-3$ と $1$ は、2次方程式 $$ax^2+2x+c=0$$ の2つの解になります。

ステップ3：解と係数の関係を使う 解が $-3, 1$ なので、解と係数の関係を利用します。

• 和: $(-3) + 1 = -\frac{2}{a} \quad \implies \quad -2 = -\frac{2}{a} \quad \implies \quad a = 1$
• 積: $(-3) \times 1 = \frac{c}{a} \quad \implies \quad -3 = \frac{c}{1} \quad \implies \quad c = -3$

求めた $a=1$ は、$a>0$ の条件を満たしているのでOKです。

（別解）因数分解形から展開する 解が $-3, 1$ なので、不等式は $$a(x+3)(x-1) < 0$$ と表せます。（ただし $a>0$） 展開すると、 $$a(x^2 + 2x - 3) < 0$$

$$ax^2 + 2ax - 3a < 0$$ 元の式 $$ax^2+2x+c<0$$ と係数を比較します。 $x$ の係数を比べると、 $$2a = 2 \quad \implies \quad a = 1$$ 定数項を比べると、 $$-3a = c$$ $a=1$ を代入して、 $$c = -3(1) = -3$$

答え: $$a=1, \quad c=-3$$

2次不等式の係数決定まとめ

• 2次不等式の解の境界値（ $\alpha, \beta$ ）は、対応する2次方程式の解と同じです。
• 係数を求めるには、**「解と係数の関係」を使うか、「 $(x-\alpha)(x-\beta)$ の形から展開」**する方法が有効です。
• 不等号の向きと解の範囲から、**$x^2$ の係数（ $a$ ）の符号（プラスかマイナスか）**を必ずチェックしましょう。

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