基準問題
$\sin 75°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
- 単元 ：三角比 — 余角の公式（90°−θ の変換）
- 難易度 ：教科書基本レベル
- ポイント ：75° = 90°−15° と表し、余角の公式 $\sin(90°-\theta)=\cos\theta$ を使って $\cos 15°$ に変換する
- 解答 ： $\cos 15°$
この演習では、余角の公式（90°−θ の三角比）を45°以下の角で表す力を鍛えます。余角とは「2つの角を足すと90°になる関係」のこと。直角三角形の底辺と高さを入れ替えるイメージで、公式を確実に使えるようにしましょう。
この問題を解くための基礎知識
余角とは何か？
余角（よかく） とは、2つの角を足すと90°になる関係のことです。
「余」という漢字には「残り」「余り」という意味があります。直角（90°）からある角を引いた「残りの角」が、その角の余角です。
具体例でイメージしましょう。
- 30° の余角は何度ですか？ → 90° − 30° = 60°
- 15° の余角は何度ですか？ → 90° − 15° = 75°
- 45° の余角は何度ですか？ → 90° − 45° = 45°（45°どうしで余角の関係）
- 10° の余角は何度ですか？ → 90° − 10° = 80°
- 20° の余角は何度ですか？ → 90° − 20° = 70°
- 5° の余角は何度ですか？ → 90° − 5° = 85°
- 40° の余角は何度ですか？ → 90° − 40° = 50°
- 1° の余角は何度ですか？ → 90° − 1° = 89°
- 35° の余角は何度ですか？ → 90° − 35° = 55°
- 22° の余角は何度ですか？ → 90° − 22° = 68°
つまり、角 $\theta$ の余角は $90°-\theta$ です。逆に、 $90°-\theta$ の余角は $\theta$ です。2つは「お互いの余角」の関係にあります。
直角三角形で考えると、なぜ余角が重要かがわかります。
直角三角形には直角（90°）が1つあります。残りの2つの角を足すと90°になります（内角の和が180°だから）。だから、直角三角形の2つの鋭角は、いつも余角の関係です。
例えば、1つの鋭角が30°なら、もう1つは60°。1つが15°なら、もう1つは75°。1つが7°なら、もう1つは83°。この「ペア」の関係が、余角です。
余角の公式とは（90°−θ の三角比）
余角の公式 とは、「ある角の三角比」と「その余角の三角比」のあいだに成り立つ関係式のことです。
角 $\theta$ の余角は $90°-\theta$ なので、余角の公式は「 $90°-\theta$ の三角比を、 $\theta$ の三角比で表す」公式です。
この公式を使うと、45°より大きい角（例：75°、80°）の三角比を、45°以下の角（例：15°、10°）の三角比に書き換えできます。角度が小さいほうが計算しやすいことが多いので、とても便利です。
90°−θ の三角比とは（図で理解する）
直角三角形で、1つの鋭角を $\theta$ とすると、もう1つの鋭角は $90°-\theta$ になります。三角形の内角の和が180°だからです。
このとき、三角形を「ひっくり返す」と、底辺と高さの対応が入れ替わります。その結果、次の公式が成り立ちます。
余角の公式（主要な3つ）
余角の公式は、次の3つです。 $\sin$ と $\cos$ が入れ替わること、 $\tan$ は逆数になることがポイントです。
公式1： $\sin(90°-\theta) = \cos\theta$
「 $90°-\theta$ の $\sin$ は、 $\theta$ の $\cos$ に等しい」という意味です。
なぜこうなるか：直角三角形で、角 $\theta$ に対する $\sin$ は「高さ÷斜辺」です。三角形をひっくり返して角 $90°-\theta$ から見ると、今度は「元の底辺÷斜辺」になります。これは $\cos\theta$ の定義そのものです。だから、 $\sin(90°-\theta) = \cos\theta$ です。
公式2： $\cos(90°-\theta) = \sin\theta$
「 $90°-\theta$ の $\cos$ は、 $\theta$ の $\sin$ に等しい」という意味です。
なぜこうなるか：角 $\theta$ に対する $\cos$ は「底辺÷斜辺」です。三角形をひっくり返して角 $90°-\theta$ から見ると、「元の高さ÷斜辺」になります。これは $\sin\theta$ の定義です。だから、 $\cos(90°-\theta) = \sin\theta$ です。
公式3： $\tan(90°-\theta) = \frac{1}{\tan\theta}$
「 $90°-\theta$ の $\tan$ は、 $\theta$ の $\tan$ の逆数に等しい」という意味です。
なぜこうなるか： $\tan\theta = \frac{\text{高さ}}{\text{底辺}}$ です。三角形をひっくり返すと、底辺と高さが入れ替わります。だから $90°-\theta$ から見た $\tan$ は $\frac{\text{底辺}}{\text{高さ}}$ となり、 $\tan\theta$ の逆数になります。
覚え方のコツ： $\sin$ と $\cos$ は「入れ替わる」、 $\tan$ は「逆数になる」とまとめて覚えましょう。
変換の手順（余角の公式を使うとき）
- 与えられた角を $90°-\theta$ の形に直す（ $\theta$ を求める＝「余角はどれか」を考える）
- 使う三角比（ $\sin$ / $\cos$ / $\tan$ ）に応じて、余角の公式で置き換える
- 45°以下の角で表せているか確認する
例題（余角の公式を使う）
例1 ： $\sin 75°$ を45°以下の角で表す。
75° の余角は 15°（75° + 15° = 90°）です。つまり 75° = 90°−15° なので、 $\theta=15°$ です。
$$ \sin 75° = \sin(90°-15°) = \cos 15° $$
答 ： $\cos 15°$
例2 ： $\cos 80°$ を45°以下の角で表す。
80° の余角は 10°（80° + 10° = 90°）です。つまり 80° = 90°−10° なので、 $\theta=10°$ です。
$$ \cos 80° = \cos(90°-10°) = \sin 10° $$
答 ： $\sin 10°$
例3 ： $\tan 59°$ を45°以下の角で表す。
59° の余角は 31°（59° + 31° = 90°）です。つまり 59° = 90°−31° なので、 $\theta=31°$ です。
$$ \tan 59° = \tan(90°-31°) = \frac{1}{\tan 31°} $$
答 ： $\frac{1}{\tan 31°}$ （ $\tan$ は逆数になる点に注意）
Level A（少し簡単）
45°より大きく90°未満の角を、そのまま1つ変換する基本問題です。公式を1回使うだけで解けます。全10問。
1
$\sin 80°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
2
$\cos 75°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
3
$\tan 70°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
4
$\cos 72°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
5
$\sin 55°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
6
$\tan 65°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
7
$\sin 62°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
8
$\cos 88°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
9
$\tan 52°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
10
$\sin 48°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
Level B（同じレベル）
Level A と同様に1つずつ変換します。角度の分解（ $90°-\theta$ の $\theta$ を求める）に慣れましょう。全10問。
11
$\sin 68°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
12
$\cos 84°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
13
$\tan 78°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
14
$\cos 63°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
15
$\sin 58°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
16
$\tan 72°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
17
$\sin 76°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
18
$\cos 69°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
19
$\tan 81°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
20
$\cos 57°$ を45°以下の角の三角比で表せ。
Level C（少し難しい）
90°−θ の変換を活用して、式の値を求める問題です。複数の三角比が登場します。全10問。
21
$\sin 75° + \cos 15°$ の値を求めよ。
22
$\cos 72° + \sin 18°$ の値を求めよ。
23
$\sin 60° + \cos 30°$ の値を求めよ。
24
$\frac{\sin 70°}{\cos 20°}$ の値を求めよ。
25
$\tan 75° \cdot \tan 15°$ の値を求めよ。
26
$\sin^2 50° + \sin^2 40°$ の値を求めよ。
27
$\sin 80° + \cos 10°$ の値を求めよ。
28
$\cos 65° + \sin 25°$ の値を求めよ。
29
$\frac{\sin 85°}{\cos 5°}$ の値を求めよ。
30
$\sin^2 70° + \cos^2 20°$ の値を求めよ。
解くときのポイント
- 余角を意識する ：与えられた角の「余角」（足して90°になる角）はどれか、をまず考える
- まず $90°-\theta$ の形に直す ：与えられた角が何度なら、 $\theta$ が45°以下になるか確認する
- sin ↔ cos の入れ替え ：余角の公式 $\sin(90°-\theta)=\cos\theta$ 、 $\cos(90°-\theta)=\sin\theta$ を確実に覚える
- tan は逆数 ： $\tan(90°-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$ になる。 $\tan$ を $\tan$ のままにするのではなく、逆数になる点に注意する
- 直角三角形のイメージ ：底辺と高さを入れ替えると、 $\sin$ と $\cos$ が入れ替わる。このイメージがあると余角の公式を忘れにくい
解答解説
問1 の解説
$\sin 80°$ を45°以下の角で表します。
80° = 90°−10° なので、 $\theta=10°$ です。
$$ \sin 80° = \sin(90°-10°) $$
$\sin(90°-\theta)=\cos\theta$ を使います。
$$ = \cos 10° $$
答 ： $\cos 10°$
問2 の解説
$\cos 75°$ を45°以下の角で表します。
75° = 90°−15° なので、 $\theta=15°$ です。
$$ \cos 75° = \cos(90°-15°) $$
$\cos(90°-\theta)=\sin\theta$ を使います。
$$ = \sin 15° $$
答 ： $\sin 15°$
問3 の解説
$\tan 70°$ を45°以下の角で表します。
70° = 90°−20° なので、 $\theta=20°$ です。
$$ \tan 70° = \tan(90°-20°) $$
$\tan(90°-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$ を使います。
$$ = \frac{1}{\tan 20°} $$
答 ： $\frac{1}{\tan 20°}$
問4 の解説
$\cos 72°$ を45°以下の角で表します。
72° = 90°−18° なので、 $\theta=18°$ です。
$$ \cos 72° = \cos(90°-18°) = \sin 18° $$
答 ： $\sin 18°$
問5 の解説
$\sin 55°$ を45°以下の角で表します。
55° = 90°−35° なので、 $\theta=35°$ です。
$$ \sin 55° = \sin(90°-35°) = \cos 35° $$
答 ： $\cos 35°$
問6 の解説
$\tan 65°$ を45°以下の角で表します。
65° = 90°−25° なので、 $\theta=25°$ です。
$$ \tan 65° = \tan(90°-25°) = \frac{1}{\tan 25°} $$
答 ： $\frac{1}{\tan 25°}$
問7 の解説
$\sin 62°$ を45°以下の角で表します。
62° = 90°−28° なので、 $\theta=28°$ です。
$$ \sin 62° = \sin(90°-28°) = \cos 28° $$
答 ： $\cos 28°$
問8 の解説
$\cos 88°$ を45°以下の角で表します。
88° = 90°−2° なので、 $\theta=2°$ です。
$$ \cos 88° = \cos(90°-2°) = \sin 2° $$
答 ： $\sin 2°$
問9 の解説
$\tan 52°$ を45°以下の角で表します。
52° = 90°−38° なので、 $\theta=38°$ です。
$$ \tan 52° = \tan(90°-38°) = \frac{1}{\tan 38°} $$
答 ： $\frac{1}{\tan 38°}$
問10 の解説
$\sin 48°$ を45°以下の角で表します。
48° = 90°−42° なので、 $\theta=42°$ です。
$$ \sin 48° = \sin(90°-42°) = \cos 42° $$
答 ： $\cos 42°$
問11 の解説
$\sin 68°$ を45°以下の角で表します。
68° = 90°−22° なので、 $\theta=22°$ です。
$$ \sin 68° = \sin(90°-22°) = \cos 22° $$
答 ： $\cos 22°$
問12 の解説
$\cos 84°$ を45°以下の角で表します。
84° = 90°−6° なので、 $\theta=6°$ です。
$$ \cos 84° = \cos(90°-6°) = \sin 6° $$
答 ： $\sin 6°$
問13 の解説
$\tan 78°$ を45°以下の角で表します。
78° = 90°−12° なので、 $\theta=12°$ です。
$$ \tan 78° = \tan(90°-12°) = \frac{1}{\tan 12°} $$
答 ： $\frac{1}{\tan 12°}$
問14 の解説
$\cos 63°$ を45°以下の角で表します。
63° = 90°−27° なので、 $\theta=27°$ です。
$$ \cos 63° = \cos(90°-27°) = \sin 27° $$
答 ： $\sin 27°$
問15 の解説
$\sin 58°$ を45°以下の角で表します。
58° = 90°−32° なので、 $\theta=32°$ です。
$$ \sin 58° = \sin(90°-32°) = \cos 32° $$
答 ： $\cos 32°$
問16 の解説
$\tan 72°$ を45°以下の角で表します。
72° = 90°−18° なので、 $\theta=18°$ です。
$$ \tan 72° = \tan(90°-18°) = \frac{1}{\tan 18°} $$
答 ： $\frac{1}{\tan 18°}$
問17 の解説
$\sin 76°$ を45°以下の角で表します。
76° = 90°−14° なので、 $\theta=14°$ です。
$$ \sin 76° = \sin(90°-14°) = \cos 14° $$
答 ： $\cos 14°$
問18 の解説
$\cos 69°$ を45°以下の角で表します。
69° = 90°−21° なので、 $\theta=21°$ です。
$$ \cos 69° = \cos(90°-21°) = \sin 21° $$
答 ： $\sin 21°$
問19 の解説
$\tan 81°$ を45°以下の角で表します。
81° = 90°−9° なので、 $\theta=9°$ です。
$$ \tan 81° = \tan(90°-9°) = \frac{1}{\tan 9°} $$
答 ： $\frac{1}{\tan 9°}$
問20 の解説
$\cos 57°$ を45°以下の角で表します。
57° = 90°−33° なので、 $\theta=33°$ です。
$$ \cos 57° = \cos(90°-33°) = \sin 33° $$
答 ： $\sin 33°$
問21 の解説
$\sin 75° + \cos 15°$ の値を求めます。
まず $\sin 75°$ を変換します。75° = 90°−15° なので、
$$ \sin 75° = \sin(90°-15°) = \cos 15° $$
したがって、
$$ \sin 75° + \cos 15° = \cos 15° + \cos 15° = 2\cos 15° $$
答 ： $2\cos 15°$
問22 の解説
$\cos 72° + \sin 18°$ の値を求めます。
$\cos 72°$ を変換します。72° = 90°−18° なので、
$$ \cos 72° = \cos(90°-18°) = \sin 18° $$
したがって、
$$ \cos 72° + \sin 18° = \sin 18° + \sin 18° = 2\sin 18° $$
答 ： $2\sin 18°$
問23 の解説
$\sin 60° + \cos 30°$ の値を求めます。
60° と 30° はどちらも45°以下なので、そのまま三角比の値を代入します。
$$ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
したがって、
$$ \sin 60° + \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$
答 ： $\sqrt{3}$
問24 の解説
$\frac{\sin 70°}{\cos 20°}$ の値を求めます。
$\sin 70°$ を変換します。70° = 90°−20° なので、
$$ \sin 70° = \sin(90°-20°) = \cos 20° $$
したがって、
$$ \frac{\sin 70°}{\cos 20°} = \frac{\cos 20°}{\cos 20°} = 1 $$
答 ： $1$
問25 の解説
$\tan 75° \cdot \tan 15°$ の値を求めます。
$\tan 75°$ を変換します。75° = 90°−15° なので、
$$ \tan 75° = \tan(90°-15°) = \frac{1}{\tan 15°} $$
したがって、
$$ \tan 75° \cdot \tan 15° = \frac{1}{\tan 15°} \times \tan 15° = 1 $$
答 ： $1$
問26 の解説
$\sin^2 50° + \sin^2 40°$ の値を求めます。
$\sin 40°$ を変換します。40° = 90°−50° なので、
$$ \sin 40° = \sin(90°-50°) = \cos 50° $$
したがって、
$$ \sin^2 50° + \sin^2 40° = \sin^2 50° + \cos^2 50° $$
三角比の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、
$$ = 1 $$
答 ： $1$
問27 の解説
$\sin 80° + \cos 10°$ の値を求めます。
$\sin 80° = \sin(90°-10°) = \cos 10°$ なので、
$$ \sin 80° + \cos 10° = \cos 10° + \cos 10° = 2\cos 10° $$
答 ： $2\cos 10°$
問28 の解説
$\cos 65° + \sin 25°$ の値を求めます。
$\cos 65° = \cos(90°-25°) = \sin 25°$ なので、
$$ \cos 65° + \sin 25° = \sin 25° + \sin 25° = 2\sin 25° $$
答 ： $2\sin 25°$
問29 の解説
$\frac{\sin 85°}{\cos 5°}$ の値を求めます。
$\sin 85° = \sin(90°-5°) = \cos 5°$ なので、
$$ \frac{\sin 85°}{\cos 5°} = \frac{\cos 5°}{\cos 5°} = 1 $$
答 ： $1$
問30 の解説
$\sin^2 70° + \cos^2 20°$ の値を求めます。
$\cos 20° = \cos(90°-70°) = \sin 70°$ なので、
$$ \sin^2 70° + \cos^2 20° = \sin^2 70° + \sin^2 70° = 2\sin^2 70° $$
答 ： $2\sin^2 70°$
一緒に強くなろう
30問すべてやり切ったあなたは、もう「90°−θ の変換」で手が止まることはありません。
この単元でつまずいている友達、周りにいませんか？ 公式を覚えても「どの角を $\theta$ にするか」で迷う人が多いところです。
ここまで解いたあなたは、直角三角形の底辺と高さを入れ替えるイメージまで身についています。もし同じところで困っている友達がいたら、このページの URL を送ってあげてください。LINE でリンクを貼るだけでOKです。
実は、一番力がつく勉強法は「人に教えること」です。友達に「75° を 90°−15° に直すんだよ」と自分の言葉で説明できたら、その知識は完全にあなたのものです。
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