sin((B+C)/2)=cos(A/2)、tan(A/2)tan((B+C)/2)=1 の証明

この記事を読むと、三角形の内角の和を使った三角関数の等式証明がわかります。

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【問題】

△ABCの3つの内角 ∠A, ∠B, ∠C の大きさを、それぞれ $A$, $B$, $C$ とするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。

(1) $\sin\frac{B+C}{2} = \cos\frac{A}{2}$

(2) $\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B+C}{2} = 1$

まずは自分の力で証明してみてください。「三角形の内角の和」と「90°−θ の三角関数」を組み合わせると、ひらめきやすくなります。

いまから解説します。自分の力で解きましたか？

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【解説と解答】三角形の内角を使った三角関数の等式証明

導入

「三角形の内角 $A$, $B$, $C$ に関する等式を証明せよ」という問題では、 $A + B + C = 180°$ を変形して、 $\frac{B+C}{2}$ を $90° – \frac{A}{2}$ に置き換える のが基本です。

この単元でつまずきやすいポイントは以下の3つです。

• $A + B + C = 180°$ から $B + C = 180° – A$ を導く ことを忘れる
• $\sin(90° – \theta) = \cos\theta$ の関係を使いこなせない
• (2)で $\tan(90° – \theta)$ を $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ に変換する 発想が浮かばない

一緒に見ていきましょう。

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「解き方」を思い出すための取っ掛かり（初心者向け）

ステップ1：三角形の内角の和を式にする

$A + B + C = 180°$ より、 $B + C = 180° – A$ です。

なぜここから始めるか： 証明すべき式には $\frac{B+C}{2}$ が含まれています。これを $A$ を使って表すと、 $\sin$ と $\cos$ の関係式が使えるようになります。

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ステップ2：$\frac{B+C}{2}$ を $90° – \frac{A}{2}$ に変形する

$B + C = 180° – A$ の両辺を $2$ で割ると、

$$ \frac{B+C}{2} = \frac{180° – A}{2} = 90° – \frac{A}{2} $$

です。

なぜここを押さえるか： $90° – \theta$ の形にすると、 $\sin(90° – \theta) = \cos\theta$ や $\tan(90° – \theta) = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ が使えます。

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ステップ3：使う公式を思い出す

• $\sin(90° – \theta) = \cos\theta$
• $\tan(90° – \theta) = \frac{\sin(90° – \theta)}{\cos(90° – \theta)} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ （ $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の逆数に近い形）

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使う武器（公式・定理）

1. 三角形の内角の和

$$ A + B + C = 180° $$

よって $B + C = 180° – A$ です。

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2. $90° – \theta$ の三角関数

$$ \sin(90° – \theta) = \cos\theta $$

$$ \cos(90° – \theta) = \sin\theta $$

$\tan(90° – \theta)$ は、 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ から、

$$ \tan(90° – \theta) = \frac{\sin(90° – \theta)}{\cos(90° – \theta)} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $$

となります。高校の範囲では $\cot\theta$ は習いませんが、 $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ と書けば十分です。

既習の方はこのセクションを読み飛ばして構いません。

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思考のプロセス（Step by Step）

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(1) $\sin\frac{B+C}{2} = \cos\frac{A}{2}$ の証明

Step 1：$\frac{B+C}{2}$ を $A$ で表す

$A + B + C = 180°$ より $B + C = 180° – A$ なので、

$$ \frac{B+C}{2} = \frac{180° – A}{2} = 90° – \frac{A}{2} $$

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Step 2：$\sin(90° – \theta) = \cos\theta$ を使う

$\frac{B+C}{2} = 90° – \frac{A}{2}$ だから、

$$ \sin\frac{B+C}{2} = \sin\left(90° – \frac{A}{2}\right) = \cos\frac{A}{2} $$

したがって、 $\sin\frac{B+C}{2} = \cos\frac{A}{2}$ が成り立ちます。

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証明 (1) （証明終）

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(2) $\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B+C}{2} = 1$ の証明

Step 1：$\frac{B+C}{2}$ を $90° – \frac{A}{2}$ に置き換える

(1)と同様に、 $\frac{B+C}{2} = 90° – \frac{A}{2}$ です。

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Step 2：$\tan(90° – \frac{A}{2})$ を $\sin$, $\cos$ で表す

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より、

$$ \tan\left(90° – \frac{A}{2}\right) = \frac{\sin\left(90° – \frac{A}{2}\right)}{\cos\left(90° – \frac{A}{2}\right)} = \frac{\cos\frac{A}{2}}{\sin\frac{A}{2}} $$

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Step 3：積を計算する

$$ \tan\frac{A}{2} \cdot \tan\frac{B+C}{2} = \tan\frac{A}{2} \cdot \tan\left(90° – \frac{A}{2}\right) $$

$$ = \frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{A}{2}}{\sin\frac{A}{2}} = 1 $$

したがって、 $\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B+C}{2} = 1$ が成り立ちます。

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証明 (2) （証明終）

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解答（まとめ）

(1) $A + B + C = 180°$ より $\frac{B+C}{2} = 90° – \frac{A}{2}$ 。よって $\sin\frac{B+C}{2} = \sin(90° – \frac{A}{2}) = \cos\frac{A}{2}$

(2) $\tan\frac{B+C}{2} = \tan(90° – \frac{A}{2}) = \frac{\cos\frac{A}{2}}{\sin\frac{A}{2}}$ より、 $\tan\frac{A}{2} \cdot \frac{\cos\frac{A}{2}}{\sin\frac{A}{2}} = 1$

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【まとめ】三角形の内角と三角関数の等式証明のポイント

• $A + B + C = 180°$ から $\frac{B+C}{2} = 90° – \frac{A}{2}$ を導く
• $\sin(90° – \theta) = \cos\theta$ を活用する
• $\tan(90° – \theta) = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ を使う（ $\cot$ は使わず $\frac{\cos}{\sin}$ で表す）
• 三角形の内角が絡む証明では、 「$90° – \frac{A}{2}$ への置き換え」 が鉄板の一手

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【解き直しのすすめ】本当に理解できているか確認する

「わかったつもり」を防ぐには、 何も見ずに自分の手で証明を書き直す ことが大切です。

解説を読む（インプット）と、自分で証明する（アウトプット）は別の力です。解説を見ながらだと「理解した気」になってしまいます。

明日、何も見ずにこの証明が書けるかテストしてみてください。それが本当の実力です。

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【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】

□ 問題：三角形の内角 $A$, $B$, $C$ について、 $\frac{B+C}{2}$ を $A$ で表すと？

□ 答： $\frac{B+C}{2} = 90° – \frac{A}{2}$ （ $A + B + C = 180°$ より $B + C = 180° – A$ ）

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□ 問題： $\sin(90° – \theta)$ の値は？

□ 答： $\cos\theta$

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□ 問題： $\cos(90° – \theta)$ の値は？

□ 答： $\sin\theta$

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□ 問題： $\tan(90° – \theta)$ を $\sin$, $\cos$ で表すと？

□ 答： $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ （ $\tan = \frac{\sin}{\cos}$ の逆数のような形）

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□ 問題： $\sin\frac{B+C}{2} = \cos\frac{A}{2}$ を証明するとき、最初にやることは？

□ 答： $\frac{B+C}{2} = 90° – \frac{A}{2}$ と変形し、 $\sin(90° – \frac{A}{2}) = \cos\frac{A}{2}$ を使う

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□ 問題： $\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B+C}{2} = 1$ で、 $\tan(90° – \frac{A}{2})$ をどう扱うか？

□ 答： $\frac{\cos\frac{A}{2}}{\sin\frac{A}{2}}$ に変換し、 $\tan\frac{A}{2} = \frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}$ と掛け合わせて $1$ にする

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□ 問題：三角形の内角が絡む三角関数の証明で、なぜ $90° – \frac{A}{2}$ への置き換えが有効か？

□ 答： $\sin(90° – \theta) = \cos\theta$ など、 $90° – \theta$ の公式が使えるから

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□ 問題： $\tan\theta \cdot \tan(90° – \theta)$ の値は？

□ 答： $1$ （ $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = 1$ ）

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□ 問題： $A + B + C = 180°$ のとき、 $B + C$ を $A$ で表すと？

□ 答： $B + C = 180° – A$

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□ 問題：三角関数の等式証明で、 $\cot$ を使わずに $\tan(90° – \theta)$ を表すには？

□ 答： $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ と書く（高校の学習指導要領の範囲内）

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【友達に教えてあげよう】

三角形の内角と三角関数の証明で、「 $\frac{B+C}{2}$ を $90° – \frac{A}{2}$ に置き換える」発想が浮かばない友達、周りにいませんか？

この解説を読んだあなたは、内角の和の変形と $90° – \theta$ の公式を組み合わせる手順を押さえています。たった数分で、入試頻出の証明パターンを身につけられる解説は、なかなかありません。

人に教えると、自分の理解が深まります。ラーニングピラミッドでも「教える」が最も定着率の高い学習法といわれています。このページのURLを送るだけでなく、 友達に証明の流れを自分の言葉で説明してみてください 。教えるつもりで解くと、曖昧だった部分がはっきりします。説明できたら、本物の理解です。

もし周りに同じ問題で悩んでいる友達がいたら、このページのURLを送ってあげてください。あなたの一言が、友達の「わからない」を「わかった！」に変えるかもしれません。