【問題】
次の式のとりうる値の範囲を求めよ。 (1) (2) では $0° \leqq \theta \leqq 180°$ とする。
(1) $2\sin\theta – 1$
(2) $-3\cos\theta + 1$
(3) $2\tan\theta + 1$ （ $0° \leqq \theta \leqq 60°$ ）
(4) $\sqrt{3} \tan\theta – 3$ （ $30° \leqq \theta < 60°$ ）
まずは自分の力で解いてみてください。 $\sin\theta$ 、 $\cos\theta$ 、 $\tan\theta$ の範囲から出発することを意識すると、ひらめきやすくなります。
いまから解説します。自分の力で解きましたか？
【解説と解答】三角関数の式の値の範囲を不等式変形で求める
導入
「式のとりうる値の範囲」を求めよ、という問題では、 三角関数（ $\sin\theta$ 、 $\cos\theta$ 、 $\tan\theta$ ）の範囲を求め、それを不等式変形で目的の式に持ち込む のが基本です。
(1)(2) は $\sin\theta$ ・ $\cos\theta$ の1次式、 (3)(4) は $\tan\theta$ の1次式です。いずれも「三角関数の範囲 → 不等式変形」という同じ手順で解けます。
なぜこの手順か： 目的の式は三角関数の1次式なので、三角関数のとりうる範囲がわかれば、それを「定数倍して定数を足す」操作で、目的の式の範囲に変形できます。 負の数をかけるときだけ、不等号の向きが逆になる ことに注意しましょう。
この問題でつまずきやすいポイントは以下の4つです：
- $\theta$ の範囲が違うと、 $\sin\theta$ ・ $\cos\theta$ ・ $\tan\theta$ の範囲も変わる ことを忘れる
- $0° \leqq \theta \leqq 180°$ のとき、 $\cos\theta$ は $-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ （ $\sin\theta$ と違う）
- $\tan\theta$ は $90°$ に近づくと無限大 になるが、 $0° \leqq \theta \leqq 60°$ なら $0 \leqq \tan\theta \leqq \sqrt{3}$
- (4) のように $\theta < 60°$ と等号なしのとき、右端の値は「含まない」
一緒に見ていきましょう。
使う武器（公式・定理）
1. $0° \leqq \theta \leqq 180°$ のときの $\sin\theta$ ・ $\cos\theta$ の範囲
$$ 0 \leqq \sin\theta \leqq 1, \quad -1 \leqq \cos\theta \leqq 1 $$
$\sin\theta$ は $0°$ で $0$ 、 $90°$ で $1$ 、 $180°$ で $0$ 。 $\cos\theta$ は $0°$ で $1$ 、 $90°$ で $0$ 、 $180°$ で $-1$ です。
2. $0° \leqq \theta \leqq 60°$ のときの $\tan\theta$ の範囲
$$ 0 \leqq \tan\theta \leqq \sqrt{3} $$
$\tan 0° = 0$ 、 $\tan 60° = \sqrt{3}$ です。
3. $30° \leqq \theta < 60°$ のときの $\tan\theta$ の範囲
$$ \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq \tan\theta < \sqrt{3} $$
$\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 、 $\theta = 60°$ は含まないので $\tan\theta$ は $\sqrt{3}$ に近づくが $\sqrt{3}$ にはならない（ $\theta < 60°$ のため）。
4. 不等式の性質
- 正の数をかける：不等号の向きは変わらない
- 負の数をかける：不等号の向きが逆になる
- 数を足す：不等号の向きは変わらない
既習の方はこのセクションを読み飛ばして構いません。
思考のプロセス（Step by Step）
(1) $2\sin\theta – 1$ （ $0° \leqq \theta \leqq 180°$ ）
$0 \leqq \sin\theta \leqq 1$ の各辺に $2$ をかけ、 $1$ を引く。
$$ 0 \leqq 2\sin\theta \leqq 2 $$
$$ -1 \leqq 2\sin\theta – 1 \leqq 1 $$
解答 (1) $\quad -1 \leqq 2\sin\theta – 1 \leqq 1$
(2) $-3\cos\theta + 1$ （ $0° \leqq \theta \leqq 180°$ ）
$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ の各辺に $-3$ をかける。 負の数なので不等号の向きが逆 になる。
$$ 3 \geqq -3\cos\theta \geqq -3 $$
つまり $-3 \leqq -3\cos\theta \leqq 3$ 。各辺に $1$ を足す。
$$ -2 \leqq -3\cos\theta + 1 \leqq 4 $$
解答 (2) $\quad -2 \leqq -3\cos\theta + 1 \leqq 4$
(3) $2\tan\theta + 1$ （ $0° \leqq \theta \leqq 60°$ ）
$0 \leqq \tan\theta \leqq \sqrt{3}$ の各辺に $2$ をかけ、 $1$ を足す。
$$ 0 \leqq 2\tan\theta \leqq 2\sqrt{3} $$
$$ 1 \leqq 2\tan\theta + 1 \leqq 2\sqrt{3} + 1 $$
解答 (3) $\quad 1 \leqq 2\tan\theta + 1 \leqq 2\sqrt{3} + 1$
(4) $\sqrt{3} \tan\theta – 3$ （ $30° \leqq \theta < 60°$ ）
$\frac{1}{\sqrt{3}} \leqq \tan\theta 0$ なので不等号の向きは変わらない。ただし $\theta < 60°$ より $\tan\theta < \sqrt{3}$ なので、右側は $<$ のまま。
$$ 1 \leqq \sqrt{3} \tan\theta < 3 $$
各辺から $3$ を引く。
$$ -2 \leqq \sqrt{3} \tan\theta – 3 < 0 $$
解答 (4) $\quad -2 \leqq \sqrt{3} \tan\theta – 3 < 0$
【補足】 $\theta$ と式の値の対応（確認用）
| $\theta$ | $0°$ | $90°$ | $180°$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $2\sin\theta – 1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ |
| $\theta$ | $0°$ | $90°$ | $180°$ |
|---|---|---|---|
| $\cos\theta$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
| $-3\cos\theta + 1$ | $-2$ | $1$ | $4$ |
| $\theta$ | $0°$ | $60°$ |
|---|---|---|
| $\tan\theta$ | $0$ | $\sqrt{3}$ |
| $2\tan\theta + 1$ | $1$ | $2\sqrt{3} + 1$ |
| $\theta$ | $30°$ | $60°$ に近づく |
|---|---|---|
| $\tan\theta$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $\sqrt{3}$ に近づく |
| $\sqrt{3} \tan\theta – 3$ | $-2$ | $0$ に近づく（ $0$ は含まない） |
【まとめ】三角関数の式の値の範囲を求めるポイント
- $\sin\theta$ ・ $\cos\theta$ ・ $\tan\theta$ の範囲 を、 $\theta$ の範囲に応じて求める
- $0° \leqq \theta \leqq 180°$ のとき、 $\sin\theta$ は $0 \leqq \sin\theta \leqq 1$ 、 $\cos\theta$ は $-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$
- 負の数をかけるときは、不等号の向きを逆にする
- $\theta < 60°$ のように等号がないときは、右端の値を 含まない （ $<$ や $\leqq$ の使い分けに注意）
【解き直しのすすめ】本当に理解できているか確認する
「わかったつもり」を防ぐには、 何も見ずに自分の手で解き直す ことが大切です。
明日、何も見ずにこの問題が解けるかテストしてみてください。それが本当の実力です。
【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】
□ 問題： $0° \leqq \theta \leqq 180°$ のとき、 $\cos\theta$ のとりうる値の範囲は？
□ 答： $-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ （ $\sin\theta$ と異なり、負の値もとる）
□ 問題： $0° \leqq \theta \leqq 60°$ のとき、 $\tan\theta$ のとりうる値の範囲は？
□ 答： $0 \leqq \tan\theta \leqq \sqrt{3}$ （ $\tan 0° = 0$ 、 $\tan 60° = \sqrt{3}$ ）
□ 問題： $30° \leqq \theta < 60°$ のとき、 $\tan\theta$ の範囲で右端が $<$ になる理由は？
□ 答： $\theta = 60°$ は含まないため、 $\tan\theta$ は $\sqrt{3}$ に近づくが $\sqrt{3}$ にはならない
□ 問題： $-3\cos\theta + 1$ の範囲を求める際、 $-3$ をかけたときに不等号が逆になる理由は？
□ 答：負の数をかけると、小さい方と大きい方が入れ替わるから
□ 問題： $\sin\theta$ と $\cos\theta$ で、 $0° \leqq \theta \leqq 180°$ のときの範囲が異なる点は？
□ 答： $\sin\theta$ は $0 \leqq \sin\theta \leqq 1$ のみ。 $\cos\theta$ は $-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ で、負の値もとる
□ 問題： $\sqrt{3} \tan\theta – 3$ で $\theta < 60°$ のとき、右端が $0$ を含まない理由は？
□ 答： $\theta = 60°$ のとき $\sqrt{3} \tan\theta – 3 = 0$ だが、 $\theta < 60°$ なので $\theta = 60°$ は含まれず、 $0$ も含まない
□ 問題： 三角関数の式の値の範囲を求める基本手順は？
□ 答：①三角関数の範囲を求める ②不等式変形（定数倍・加減）で目的の式の範囲に持ち込む
□ 問題： $\tan 30°$ と $\tan 60°$ の値は？
□ 答： $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 、 $\tan 60° = \sqrt{3}$
□ 問題： 不等式で「 $a < b$ 」のとき、各辺に正の数 $c$ をかけるとどうなるか？
□ 答： $ac < bc$ のまま。不等号の向きは変わらない
□ 問題： $30° \leqq \theta < 60°$ と $30° \leqq \theta \leqq 60°$ で、答えの表し方がどう変わるか？
□ 答： $\theta < 60°$ のとき、右端の値は $\leqq$ ではなく $<$ になる（その値をとる $\theta$ が存在しないため）
【友達に教えてあげよう】
三角関数の「式の値の範囲」で、 $\cos\theta$ と $\sin\theta$ の範囲の違いや、 $\tan\theta$ の扱いでつまずいている友達、周りにいませんか？
この解説を読んだあなたは、 $\sin$ ・ $\cos$ ・ $\tan$ それぞれの範囲と、不等式変形の注意点を押さえています。たった数分で、4パターンを身につけられる解説は、なかなかありません。
人に教えると、自分の理解が深まります。このページのURLを送るだけでなく、 友達に解き方を自分の言葉で説明してみてください 。説明できたら、本物の理解です。
もし周りに同じ問題で悩んでいる友達がいたら、このページのURLを送ってあげてください。
1ヶ月間「0円」で体験
無料学習相談で、あなたの状況に合わせた学習計画と「最適なプランの使い方」を具体的にご案内します。
お友達紹介・兄弟姉妹割引あり。口コミで広がっています。
【期間限定】
- 無料学習相談（プロが学習計画をご提案）
- 全教科 LINE質問し放題
- オンライン自習室 利用し放題
- 学習コーチング（希望者）
▼ 友だち追加後、すぐに「無料学習相談」を予約できます ▼
