直角三角形の辺の比（1:1:√2 と 1:2:√3）｜レベル別演習15問

基準問題

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=45°$ の直角三角形で、 $\mathrm{BC}=3$ のとき、斜辺 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

• 単元 ：三角比・三平方の定理 — 特別な直角三角形の辺の比
• 難易度 ：教科書基本レベル
• ポイント ：45°・45°・90° の直角三角形の辺の比 $1:1:\sqrt{2}$ を使って、1辺の長さから斜辺を即座に求める
• 解答 ： $\mathrm{AB}=3\sqrt{2}$

この演習では、三角定規でおなじみの2つの直角三角形の辺の比を使いこなす力を鍛えます。

• 45°・45°・90° の直角三角形 → 辺の比 $1:1:\sqrt{2}$
• 30°・60°・90° の直角三角形 → 辺の比 $1:\sqrt{3}:2$（30°の対辺 : 60°の対辺 : 斜辺）

比を覚えておけば三平方の定理を使わなくても計算できるので、スピードが格段に上がります。基本の確認は [[basic-exercises-45-90-45-and-30-60-90-ratios]] も参照してください。

---

Level A（少し簡単）

辺の比を直接あてはめるだけの基本問題です。「どの角の対辺がどの比に対応するか」を確認しながら、1問ずつ丁寧に解いていきましょう。

---

1

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{B}=45°$ の直角三角形で、 $\mathrm{AC}=5$ のとき、斜辺 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

---

2

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=45°$ の直角三角形で、斜辺 $\mathrm{AB}=4\sqrt{2}$ のとき、 $\mathrm{BC}$ の長さを求めよ。

---

3

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ の直角三角形で、 $\mathrm{AC}=3$ のとき、斜辺 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{BC}$ の長さを求めよ。

---

4

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=30°$ の直角三角形で、斜辺 $\mathrm{AB}=10$ のとき、 $\mathrm{BC}$ と $\mathrm{AC}$ の長さを求めよ。

---

5

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=60°$ の直角三角形で、 $\mathrm{BC}=6\sqrt{3}$ のとき、 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

---

Level B（同じレベル）

比をあてはめたあとに有理化や面積計算などのワンステップが加わる問題です。正方形や正三角形との関連も押さえましょう。

---

6

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{B}=45°$ の直角三角形で、斜辺 $\mathrm{AB}=8$ のとき、 $\mathrm{AC}$ の長さを求めよ。

---

7

1辺の長さが $6$ の正方形 ABCD の対角線 AC の長さを求めよ。

---

8

1辺の長さが $8$ の正三角形 ABC の高さ $h$ を求めよ。

---

9

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ の直角三角形で、 $\mathrm{BC}=4\sqrt{3}$ のとき、 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

---

10

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=45°$ の直角三角形で、斜辺 $\mathrm{AB}=10$ のとき、△ABC の面積を求めよ。

---

Level C（少し難しい）

辺の比を使ったあとに面積を求めたり、2種類の直角三角形を組み合わせたりする問題です。ひとつずつ三角形を切り分けて考えましょう。

---

11

1辺の長さが $10$ の正三角形 ABC の面積を求めよ。

---

12

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ の直角三角形で、斜辺 $\mathrm{AB}=12$ のとき、△ABC の面積を求めよ。

---

13

直線上に3点 A, C, B がこの順に並んでおり、点 C を通る垂線上に点 D がある。 $\angle\mathrm{DAC}=30°$ 、 $\angle\mathrm{DBC}=45°$ 、 $\mathrm{CD}=3$ のとき、 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

---

14

△ABC は $\angle\mathrm{B}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=30°$ の直角三角形で、 $\mathrm{BC}=a$ のとき、△ABC の面積を $a$ を使って表せ。

---

15

1辺の長さが $6$ の正三角形 ABC の各辺の中点をそれぞれ D, E, F とする。△DEF の面積を求めよ。

---

解くときのポイント

• まず図に角度を書く ：45°・45°・90° か、30°・60°・90° かをはっきりさせる
• 「どの辺が比のどこか」を決める ：与えられた辺が $1$ 、 $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{3}$ 、 $2$ のどれに対応するかを確認する
• 30°の対辺は「斜辺の半分」 ：30°・60°・90° では、30°の対辺 $= \frac{\text{斜辺}}{2}$ になる
• 45°の直角二等辺は「斜辺 $= \sqrt{2} \times$ 脚」 ：直角をはさむ辺が $a$ なら、斜辺は $a\sqrt{2}$
• 正方形の対角線 ：直角二等辺三角形（45°・45°・90°）になる
• 正三角形の高さ ：頂点から底辺に垂線を下ろすと30°・60°・90° になる
• 分母に $\sqrt{2}$ や $\sqrt{3}$ が残ったら有理化 ：$\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

---

解答解説

---

問1 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{B}=45°$ の直角三角形で $\mathrm{AC}=5$ です。

45°・45°・90° なので、辺の比は $1:1:\sqrt{2}$ です。

直角をはさむ2辺が等しいので、

$$ \mathrm{AC} = \mathrm{BC} = 5 $$

斜辺は直角をはさむ辺の $\sqrt{2}$ 倍なので、

$$ \mathrm{AB} = 5 \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $$

答 ： $\mathrm{AB} = 5\sqrt{2}$

---

問2 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=45°$ の直角三角形で $\mathrm{AB}=4\sqrt{2}$ です。

45°・45°・90° なので、辺の比は $1:1:\sqrt{2}$ です。

斜辺 $\mathrm{AB}$ が $\sqrt{2}$ に対応するので、1に対応する辺を求めます。

$$ \mathrm{BC} = \frac{\mathrm{AB}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 $$

答 ： $\mathrm{BC} = 4$

---

問3 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ の直角三角形です。

$\angle\mathrm{A}=60°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ 、 $\angle\mathrm{C}=90°$ なので、辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ です。

それぞれの辺と比の対応を確認します。

• $\mathrm{AC}$（ $\angle\mathrm{B}=30°$ の対辺）→ $1$ に対応
• $\mathrm{BC}$（ $\angle\mathrm{A}=60°$ の対辺）→ $\sqrt{3}$ に対応
• $\mathrm{AB}$（斜辺）→ $2$ に対応

$\mathrm{AC}=3$ なので、1単位 $=3$ です。

$$ \mathrm{AB} = 3 \times 2 = 6 $$

$$ \mathrm{BC} = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} $$

答 ： $\mathrm{AB} = 6$ 、 $\mathrm{BC} = 3\sqrt{3}$

---

問4 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=30°$ の直角三角形です。

$\angle\mathrm{A}=30°$ 、 $\angle\mathrm{B}=60°$ 、 $\angle\mathrm{C}=90°$ なので、辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ です。

• $\mathrm{BC}$（ $\angle\mathrm{A}=30°$ の対辺）→ $1$ に対応
• $\mathrm{AC}$（ $\angle\mathrm{B}=60°$ の対辺）→ $\sqrt{3}$ に対応
• $\mathrm{AB}$（斜辺）→ $2$ に対応

$\mathrm{AB}=10$ なので、2単位 $=10$ → 1単位 $=5$ です。

$$ \mathrm{BC} = 5 $$

$$ \mathrm{AC} = 5\sqrt{3} $$

答 ： $\mathrm{BC} = 5$ 、 $\mathrm{AC} = 5\sqrt{3}$

---

問5 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=60°$ の直角三角形です。

$\angle\mathrm{A}=60°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ 、 $\angle\mathrm{C}=90°$ なので、辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ です。

• $\mathrm{AC}$（ $\angle\mathrm{B}=30°$ の対辺）→ $1$ に対応
• $\mathrm{BC}$（ $\angle\mathrm{A}=60°$ の対辺）→ $\sqrt{3}$ に対応
• $\mathrm{AB}$（斜辺）→ $2$ に対応

$\mathrm{BC}=6\sqrt{3}$ で、これは $\sqrt{3}$ に対応します。

$$ \sqrt{3} \text{ 単位} = 6\sqrt{3} $$

両辺を $\sqrt{3}$ で割ると、1単位 $=6$ です。

$$ \mathrm{AC} = 6 $$

$$ \mathrm{AB} = 6 \times 2 = 12 $$

答 ： $\mathrm{AC} = 6$ 、 $\mathrm{AB} = 12$

---

問6 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{B}=45°$ の直角三角形で $\mathrm{AB}=8$ です。

45°・45°・90° なので、辺の比は $1:1:\sqrt{2}$ です。

斜辺 $\mathrm{AB}=8$ が $\sqrt{2}$ に対応するので、

$$ \mathrm{AC} = \frac{8}{\sqrt{2}} $$

分母を有理化します。

$$ = \frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} $$

答 ： $\mathrm{AC} = 4\sqrt{2}$

---

問7 の解説

正方形 ABCD で1辺 $=6$ です。

対角線 AC は、正方形を2つの直角二等辺三角形に分けます。

△ABC は $\angle\mathrm{B}=90°$ 、 $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=6$ の直角二等辺三角形なので、辺の比は $1:1:\sqrt{2}$ です。

$$ \mathrm{AC} = 6\sqrt{2} $$

答 ： $\mathrm{AC} = 6\sqrt{2}$

---

問8 の解説

1辺が $8$ の正三角形 ABC の高さ $h$ を求めます。

頂点 A から辺 BC に垂線 AH を下ろすと、 $\mathrm{BH}=4$ （底辺の半分）となり、△ABH は 30°・60°・90° の直角三角形になります。

• $\mathrm{BH}=4$（ $30°$ の対辺）→ $1$ に対応
• $\mathrm{AH}=h$（ $60°$ の対辺）→ $\sqrt{3}$ に対応
• $\mathrm{AB}=8$（斜辺）→ $2$ に対応

1単位 $=4$ なので、

$$ h = 4\sqrt{3} $$

答 ： $h = 4\sqrt{3}$

---

問9 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ の直角三角形で $\mathrm{BC}=4\sqrt{3}$ です。

$\angle\mathrm{A}=60°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ 、 $\angle\mathrm{C}=90°$ なので、辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ です。

• $\mathrm{AC}$（ $\angle\mathrm{B}=30°$ の対辺）→ $1$ に対応
• $\mathrm{BC}$（ $\angle\mathrm{A}=60°$ の対辺）→ $\sqrt{3}$ に対応
• $\mathrm{AB}$（斜辺）→ $2$ に対応

$\mathrm{BC}=4\sqrt{3}$ で、 $\sqrt{3}$ に対応するので、1単位 $=4$ です。

$$ \mathrm{AC} = 4 $$

$$ \mathrm{AB} = 4 \times 2 = 8 $$

答 ： $\mathrm{AC} = 4$ 、 $\mathrm{AB} = 8$

---

問10 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=45°$ の直角三角形で $\mathrm{AB}=10$ です。面積を求めます。

45°・45°・90° なので、 $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$ です。

まず脚の長さを求めます。

$$ \mathrm{AC} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} $$

$$ \mathrm{BC} = 5\sqrt{2} $$

面積は、

$$ S = \frac{1}{2} \times \mathrm{AC} \times \mathrm{BC} = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} $$

$$ = \frac{1}{2} \times 25 \times 2 = 25 $$

答 ： $S = 25$

---

問11 の解説

1辺が $10$ の正三角形 ABC の面積を求めます。

まず高さ $h$ を求めます。頂点から底辺に垂線を下ろすと 30°・60°・90° の直角三角形ができます。

底辺の半分 $=5$（ $30°$ の対辺 → $1$ に対応）なので、

$$ h = 5\sqrt{3} $$

面積を求めます。

$$ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} $$

答 ： $S = 25\sqrt{3}$

---

問12 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{C}=90°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ の直角三角形で $\mathrm{AB}=12$ です。面積を求めます。

$\angle\mathrm{A}=60°$ 、 $\angle\mathrm{B}=30°$ 、 $\angle\mathrm{C}=90°$ なので、辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ です。

$\mathrm{AB}=12$ で $2$ に対応するので、1単位 $=6$ です。

$$ \mathrm{AC} = 6 \quad (30° \text{ の対辺}) $$

$$ \mathrm{BC} = 6\sqrt{3} \quad (60° \text{ の対辺}) $$

面積を求めます。

$$ S = \frac{1}{2} \times \mathrm{AC} \times \mathrm{BC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} $$

答 ： $S = 18\sqrt{3}$

---

問13 の解説

直線上に A, C, B がこの順に並び、CD $\perp$ AB です。2つの直角三角形に分けて考えます。

△BCD ： $\angle\mathrm{BCD}=90°$ 、 $\angle\mathrm{DBC}=45°$

$\angle\mathrm{BDC}=45°$ なので、45°・45°・90° の直角三角形です。

直角をはさむ2辺が等しいので、

$$ \mathrm{BC} = \mathrm{CD} = 3 $$

△ACD ： $\angle\mathrm{ACD}=90°$ 、 $\angle\mathrm{DAC}=30°$

$\angle\mathrm{ADC}=60°$ なので、30°・60°・90° の直角三角形です。

• $\mathrm{CD}=3$（ $30°$ の対辺）→ $1$ に対応
• $\mathrm{AC}$（ $60°$ の対辺）→ $\sqrt{3}$ に対応
• $\mathrm{AD}$（斜辺）→ $2$ に対応

$$ \mathrm{AC} = 3\sqrt{3} $$

よって、

$$ \mathrm{AB} = \mathrm{AC} + \mathrm{CB} = 3\sqrt{3} + 3 = 3(\sqrt{3} + 1) $$

答 ： $\mathrm{AB} = 3(\sqrt{3} + 1)$

---

問14 の解説

△ABC は $\angle\mathrm{B}=90°$ 、 $\angle\mathrm{A}=30°$ の直角三角形で $\mathrm{BC}=a$ です。

$\angle\mathrm{A}=30°$ 、 $\angle\mathrm{B}=90°$ 、 $\angle\mathrm{C}=60°$ なので、辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ です。

• $\mathrm{BC}$（ $\angle\mathrm{A}=30°$ の対辺）→ $1$ に対応 → $\mathrm{BC} = a$
• $\mathrm{AB}$（ $\angle\mathrm{C}=60°$ の対辺）→ $\sqrt{3}$ に対応 → $\mathrm{AB} = a\sqrt{3}$
• $\mathrm{AC}$（斜辺）→ $2$ に対応 → $\mathrm{AC} = 2a$

面積は、直角をはさむ2辺 BC と AB を使います。

$$ S = \frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AB} = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{3} $$

$$ = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 $$

答 ： $S = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$

---

問15 の解説

1辺が $6$ の正三角形 ABC の各辺の中点 D, E, F でできる △DEF の面積を求めます。

Step 1：△DEF の1辺の長さを求める

中点連結定理より、各辺の中点を結んだ線分の長さは元の辺の半分です。

$$ \mathrm{DE} = \mathrm{EF} = \mathrm{FD} = \frac{6}{2} = 3 $$

△DEF は1辺 $3$ の正三角形です。

Step 2：△DEF の高さを求める

頂点から底辺に垂線を下ろすと 30°・60°・90° の直角三角形ができます。

底辺の半分 $= \frac{3}{2}$ が $1$ に対応するので、

$$ h = \frac{3}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

Step 3：面積を求める

$$ S = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} $$

答 ： $S = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

---

一緒に強くなろう

15問すべてやり切ったあなたは、もう「辺の比」で手が止まることはありません。

ところで、一番力がつく勉強法は 「人に教えること」 だと知っていますか？ 解き方を自分の言葉で友達に説明できたら、その知識は完全にあなたのものです。

もし周りに「30°・60°・90° のどれが $\sqrt{3}$ だっけ？」と迷っている友達がいたら、このページの URL を送ってあげてください。LINE でリンクを貼るだけでOKです。友達を助けながら、自分の記憶もさらに強くなります。

もっと自分に合った問題がほしいときは、コスタバのオンライン自習室で気軽に相談できます。