基準問題
10進数を次のn進数に変換しなさい。
(例1) $17$ を2進数に変換すると？
(例2) $71$ を3進数に変換すると？
(例3) $2021$ を5進数に変換すると？
- 単元：数学A・整数（n進数・位取り記数法）
- ポイント：n で割り続けて、余りを下から読む（↑字型）
- 解答：(例1) $10001{(2)}$ (例2) $2122{(3)}$ (例3) $31041_{(5)}$
この問題を解くための基礎知識
n進数とは
n進数とは、$n$ を1つの束の単位として数を表す方法です。
私たちが日常で使う数は 10進数 で、$0$〜$9$ の10種類の数字を使い、10になると桁が上がります。
- 2進数：$0, 1$ の2種類で表す（コンピュータで使われる）
- 3進数：$0, 1, 2$ の3種類で表す
- 5進数：$0, 1, 2, 3, 4$ の5種類で表す
- 7進数：$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ の7種類で表す
変換の手順（割り算して余りを下から読む）
ポイント：n で割り続けて、余りを下（↑）から読む
手順
- 変換したい10進数を $n$ で割り、商と余りを求める
- 商がゼロになるまで、商をさらに $n$ で割り続ける
- 余りを下から順に並べると、n進数の答えになる
例題：$17$ を2進数に変換する
$2$ で割り続けます。商が $0$ になったら終了です。
2 ) 17
──
2 ) 8 ···1 ← 余り
──
2 ) 4 ···0 ← 余り
──
2 ) 2 ···0 ← 余り
──
1 ···0 ← 余り（最後の商 1 も余りとして使う）
↑ 下から読む: 1, 0, 0, 0, 1$$ 17 = 10001_{(2)} $$
確認： $1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 16 + 1 = 17$ ✓
【2進数】6問
2 で割り続けて余りを下から読む練習です。問が進むにつれ桁数が増えます。
問 1
$13$ を2進数に変換しなさい。
問 2
$25$ を2進数に変換しなさい。
問 3
$38$ を2進数に変換しなさい。
問 4
$57$ を2進数に変換しなさい。
問 5
$100$ を2進数に変換しなさい。
問 6
$117$ を2進数に変換しなさい。
【3進数】3問
3 で割り続ける練習です。余りが $0, 1, 2$ のいずれかになることに注意しましょう。
問 7
$20$ を3進数に変換しなさい。
問 8
$50$ を3進数に変換しなさい。
問 9
$100$ を3進数に変換しなさい。
【5進数】3問
5 で割り続ける練習です。商が一気に小さくなる（割り算が速く進む）ことを体感しましょう。
問 10
$37$ を5進数に変換しなさい。
問 11
$143$ を5進数に変換しなさい。
問 12
$400$ を5進数に変換しなさい。
【7進数】3問
7 で割り続ける練習です。余りが $0$〜$6$ になります。7進数ではステップ数が少なくて済みます。
問 13
$50$ を7進数に変換しなさい。
問 14
$200$ を7進数に変換しなさい。
問 15
$1000$ を7進数に変換しなさい。
解くときのポイント
- 筆算は縦に書く：右側に余りをメモしながら進むと取り違えにくいです。
- 商が 0 になったら終了：商ではなく余りが 0 でも続けることに注意。商が 0 になるまで割り続けます。
- 余りを下から読む：答えは余りを上から書き並べると間違えます。矢印（↑）を書いて下から読む習慣をつけましょう。
- n進数の余りは 0〜(n−1)：2進数なら $0$ か $1$、7進数なら $0$〜$6$。それ以外の余りが出たら割り算のミスです。
- 最後の商も忘れずに：商が 0 でなくなった（割り切れなくなった）最後の数もそのまま答えの先頭になります。
解答解説
問 1 の解説（$13$ を2進数に）
$13$ を $2$ で割り続けます。
2 ) 13
──
2 ) 6 ···1
──
2 ) 3 ···0
──
1 ···1
↑ 下から読む: 1, 1, 0, 1$$ \boxed{13 = 1101_{(2)}} $$
確認： $1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$ ✓
問 2 の解説（$25$ を2進数に）
$25$ を $2$ で割り続けます。
2 ) 25
──
2 ) 12 ···1
──
2 ) 6 ···0
──
2 ) 3 ···0
──
1 ···1
↑ 下から読む: 1, 1, 0, 0, 1$$ \boxed{25 = 11001_{(2)}} $$
確認： $16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25$ ✓
問 3 の解説（$38$ を2進数に）
$38$ を $2$ で割り続けます。
2 ) 38
──
2 ) 19 ···0
──
2 ) 9 ···1
──
2 ) 4 ···1
──
2 ) 2 ···0
──
1 ···0
↑ 下から読む: 1, 0, 0, 1, 1, 0$$ \boxed{38 = 100110_{(2)}} $$
確認： $32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 38$ ✓
問 4 の解説（$57$ を2進数に）
$57$ を $2$ で割り続けます。
2 ) 57
──
2 ) 28 ···1
──
2 ) 14 ···0
──
2 ) 7 ···0
──
2 ) 3 ···1
──
1 ···1
↑ 下から読む: 1, 1, 1, 0, 0, 1$$ \boxed{57 = 111001_{(2)}} $$
確認： $32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 57$ ✓
問 5 の解説（$100$ を2進数に）
$100$ を $2$ で割り続けます。ステップが7回になります。落ち着いて1行ずつ進めましょう。
2 ) 100
───
2 ) 50 ···0
──
2 ) 25 ···0
──
2 ) 12 ···1
──
2 ) 6 ···0
──
2 ) 3 ···0
──
1 ···1
↑ 下から読む: 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0$$ \boxed{100 = 1100100_{(2)}} $$
確認： $64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 100$ ✓
問 6 の解説（$117$ を2進数に）
$117$ を $2$ で割り続けます。
2 ) 117
───
2 ) 58 ···1
──
2 ) 29 ···0
──
2 ) 14 ···1
──
2 ) 7 ···0
──
2 ) 3 ···1
──
1 ···1
↑ 下から読む: 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1$$ \boxed{117 = 1110101_{(2)}} $$
確認： $64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 117$ ✓
問 7 の解説（$20$ を3進数に）
今度は $3$ で割ります。余りは $0, 1, 2$ のどれかになります。
3 ) 20
──
3 ) 6 ···2
──
2 ···0
↑ 下から読む: 2, 0, 2$$ \boxed{20 = 202_{(3)}} $$
確認： $2 \times 9 + 0 \times 3 + 2 \times 1 = 18 + 0 + 2 = 20$ ✓
問 8 の解説（$50$ を3進数に）
$50$ を $3$ で割り続けます。
3 ) 50
──
3 ) 16 ···2
──
3 ) 5 ···1
──
1 ···2
↑ 下から読む: 1, 2, 1, 2$$ \boxed{50 = 1212_{(3)}} $$
確認： $1 \times 27 + 2 \times 9 + 1 \times 3 + 2 \times 1 = 27 + 18 + 3 + 2 = 50$ ✓
問 9 の解説（$100$ を3進数に）
$100$ を $3$ で割り続けます。
3 ) 100
───
3 ) 33 ···1
──
3 ) 11 ···0
──
3 ) 3 ···2
──
1 ···0
↑ 下から読む: 1, 0, 2, 0, 1$$ \boxed{100 = 10201_{(3)}} $$
確認： $1 \times 81 + 0 \times 27 + 2 \times 9 + 0 \times 3 + 1 \times 1 = 81 + 18 + 1 = 100$ ✓
問 10 の解説（$37$ を5進数に）
$5$ で割ると商が一気に小さくなります。3ステップで終わります。
5 ) 37
──
5 ) 7 ···2
──
1 ···2
↑ 下から読む: 1, 2, 2$$ \boxed{37 = 122_{(5)}} $$
確認： $1 \times 25 + 2 \times 5 + 2 \times 1 = 25 + 10 + 2 = 37$ ✓
問 11 の解説（$143$ を5進数に）
$143$ を $5$ で割り続けます。
5 ) 143
───
5 ) 28 ···3
──
5 ) 5 ···3
──
1 ···0
↑ 下から読む: 1, 0, 3, 3$$ \boxed{143 = 1033_{(5)}} $$
確認： $1 \times 125 + 0 \times 25 + 3 \times 5 + 3 \times 1 = 125 + 15 + 3 = 143$ ✓
問 12 の解説（$400$ を5進数に）
$400$ を $5$ で割り続けます。余りが $0$ になっても商が $0$ になるまで続けます。
5 ) 400
───
5 ) 80 ···0
──
5 ) 16 ···0
──
3 ···1
↑ 下から読む: 3, 1, 0, 0$$ \boxed{400 = 3100_{(5)}} $$
確認： $3 \times 125 + 1 \times 25 + 0 \times 5 + 0 \times 1 = 375 + 25 = 400$ ✓
問 13 の解説（$50$ を7進数に）
$7$ で割ると3ステップで終わります。余りは $0$〜$6$ です。
7 ) 50
──
7 ) 7 ···1
──
1 ···0
↑ 下から読む: 1, 0, 1$$ \boxed{50 = 101_{(7)}} $$
確認： $1 \times 49 + 0 \times 7 + 1 \times 1 = 49 + 1 = 50$ ✓
問 14 の解説（$200$ を7進数に）
$200$ を $7$ で割り続けます。
7 ) 200
───
7 ) 28 ···4
──
4 ···0
↑ 下から読む: 4, 0, 4$$ \boxed{200 = 404_{(7)}} $$
確認： $4 \times 49 + 0 \times 7 + 4 \times 1 = 196 + 4 = 200$ ✓
問 15 の解説（$1000$ を7進数に）
$1000$ を $7$ で割り続けます。大きな数でも手順は変わりません。
7 ) 1000
────
7 ) 142 ···6
───
7 ) 20 ···2
──
2 ···6
↑ 下から読む: 2, 6, 2, 6$$ \boxed{1000 = 2626_{(7)}} $$
確認： $2 \times 343 + 6 \times 49 + 2 \times 7 + 6 \times 1 = 686 + 294 + 14 + 6 = 1000$ ✓
一緒に解いてみよう
15問、お疲れさまでした。コンピュータや暗号の世界で使われている「n進数」の変換を、手を動かして完全に習得できましたね。
「人に教えることで記憶が定着する」というのは、学習科学でも証明されていることです。同じ単元で詰まっている友達がいたら、「2で割り続けて余りを下から読むだけだよ！」と自分の言葉で説明してみてください。説明できたとき、初めて本物の理解になります。
このページを同じ単元の友達に送ってあげてください。あなたの一言が、友達の「わからない」を「わかった！」に変えるきっかけになります。
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