3次方程式・不等式証明・積分方程式・絶対値関数

【問題】

問題1 (5点)

3次方程式 $2x^3 – 9px^2 + 12p^2x – 20p^2 = 0$ が異なる3つの実数解をもつとき、定数 $p$ の値の範囲を求めよ。

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問題2

$x \geq 0$ のとき、不等式 $x^2 + 3 > 3x$ が成り立つことを証明せよ。

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問題3

方程式 $x^3 – 12x + 5 – a = 0$ が異なる2個の正の解と1個の負の解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

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問題4

等式 $f(x) = 3x^2 – x \int_0^2 f(t)\,dt + 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

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問題5

等式 $\int_0^x f(t)\,dt = x^3 – 3x^2 + x + a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

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問題6 (12点)

関数 $f(x) = |x^2 – 1| + 2x + 2$ が描く曲線を $C$ とする。

(1) (4点) $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

(2) (3点) 曲線 $C$ 上の点 $(0, f(0))$ における曲線 $C$ の接線を $l$ とする。この接線 $l$ の方程式を求めよ。

(3) (5点) 直線 $l$ と曲線 $C$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

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まずは自分の力で解いてみてください。解けそうなものから手をつけてみましょう。

いまから解説します。自分の力で解きましたか？

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【解説と解答】6問の完全解説

導入

この6問は、数学I・IIの 2次関数・微分法・積分法 の重要テーマをカバーしています。

• 3次方程式の解の個数・配置（問題1・3）：グラフと $x$ 軸の交点、極値の符号がカギ
• 不等式の証明（問題2）：移項→平方完成で「正の形」に
• 積分方程式（問題4・5）：定積分＝定数、または微積分の基本定理
• 絶対値関数（問題6）：場合分けで微分・積分

それぞれの核心を押さえて、順に解説していきます。

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使う武器（公式・定理）

3次方程式の解の個数

異なる3つの実数解をもつ $\Leftrightarrow$ 極大値 $> 0$ かつ 極小値 $< 0$

平方完成・平方の非負性

2次式は平方完成で「（平方）+（定数）」の形に。平方は $0$ 以上。

定積分は定数

$\int_a^b f(t)\,dt$ は $x$ を含まない定数。文字で置き換える。

微積分の基本定理

$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x)$。上端が $x$ のとき、微分すると被積分関数の $t$ を $x$ に変えたものになる。

絶対値の外し方

$x^2 – 1 \geq 0$（$x \leq -1$ または $x \geq 1$）で $|x^2 – 1| = x^2 – 1$、$x^2 – 1 < 0$（$-1 < x < 1$）で $|x^2 – 1| = 1 – x^2$

既習の方はこのセクションを読み飛ばしてOKです。

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問題1：3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件

$f(x) = 2x^3 – 9px^2 + 12p^2x – 20p^2$ とおく。

$f'(x) = 6(x – p)(x – 2p)$ より極值点は $x = p$, $x = 2p$。$p > 0$ のとき $x = p$ で極大、$x = 2p$ で極小。

$$ f(p) = 5p^2(p – 4), \quad f(2p) = 4p^2(p – 5) $$

極大値 $> 0$ かつ 極小値 $ 4$ かつ $p < 5$。$p < 0$ のときは極大・極小とも負になり不適。

答： $4 < p < 5$

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問題2：不等式 $x^2 + 3 > 3x$ の証明

移項すると $x^2 – 3x + 3 > 0$ を示せばよい。

平方完成：$x^2 – 3x + 3 = \left(x – \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

$\left(x – \frac{3}{2}\right)^2 \geq 0$ より、$\left(x – \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$。よって $x \geq 0$ のとき $x^2 + 3 > 3x$ が成り立つ。（証明終）

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問題3：3次方程式が2正1負の解をもつ条件

$f(x) = x^3 – 12x + 5 – a$ とおく。$f'(x) = 3(x – 2)(x + 2)$ より極大は $x = -2$、極小は $x = 2$。

$$ f(-2) = 21 – a, \quad f(0) = 5 – a, \quad f(2) = -11 – a $$

負の解1個：$(-\infty, -2)$ で1回交わるために $f(-2) > 0$ $\Rightarrow$ $a < 21$

正の解2個：$f(0) > 0$ かつ $f(2) < 0$ $\Rightarrow$ $a -11$

答： $-11 < a < 5$

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問題4：積分方程式 $f(x) = 3x^2 – x\int_0^2 f(t)\,dt + 2$

$k = \int_0^2 f(t)\,dt$ とおく。$f(x) = 3x^2 – kx + 2$。

$k = \int_0^2 (3t^2 – kt + 2)\,dt = \left[t^3 – \frac{k}{2}t^2 + 2t\right]_0^2 = 12 – 2k$

$k = 12 – 2k$ より $k = 4$。したがって $f(x) = 3x^2 – 4x + 2$。

答： $f(x) = 3x^2 – 4x + 2$

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問題5：定積分の等式から $f(x)$ と $a$ を求める

両辺を $x$ で微分：微積分の基本定理より $f(x) = 3x^2 – 6x + 1$。

$x = 0$ を代入：左辺 $\int_0^0 f(t)\,dt = 0$、右辺 $a$ より $a = 0$。

答： $f(x) = 3x^2 – 6x + 1$、$a = 0$

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問題6：絶対値関数の最小値・接線・面積

場合分け

• $x \leq -1$ または $x \geq 1$：$f(x) = (x + 1)^2$
• $-1 < x < 1$：$f(x) = -x^2 + 2x + 3$

(1) 最小値

$x = -1$ で最小値 $0$

(2) 接線

$x = 0$ は $-1 < x < 1$ の区間。$f(0) = 3$、$f'(0) = 2$ より接線は $y = 2x + 3$

(3) 面積

直線と曲線の交点は $x = -\sqrt{2}$, $0$, $\sqrt{2}$。$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$ で直線が上。

$$ S = \int{-\sqrt{2}}^{-1} (2 – x^2)\,dx + \int{-1}^{1} x^2\,dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} (2 – x^2)\,dx = \frac{8(\sqrt{2} – 1)}{3} $$

答： (1) 最小値 $0$（$x = -1$）(2) $y = 2x + 3$ (3) $S = \frac{8(\sqrt{2} – 1)}{3}$

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【まとめ】6問のポイント一覧

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【解き直しのすすめ】

6問はそれぞれ独立したパターンです。苦手な問題から解き直し、「なぜその条件になるか」「なぜその式変形をするか」を自分の言葉で説明できるようにしてください。

明日、何も見ずにこの6問が解けるかテストしてみてください。それが本当の実力です。

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【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】

□ 問題：3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件は？

□ 答：極大値 $> 0$ かつ 極小値 $< 0$

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□ 問題：問題1で $p > 0$ のとき、$x = p$ は極大か極小か？

□ 答：$f”(p) = -6p < 0$ より極大

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□ 問題：問題1の答え $p$ の範囲は？

□ 答：$4 < p < 5$

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□ 問題：不等式 $x^2 + 3 > 3x$ の証明で、移項後の式は？

□ 答：$x^2 – 3x + 3 > 0$

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□ 問題：$x^2 – 3x + 3$ を平方完成すると？

□ 答：$\left(x – \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

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□ 問題：3次方程式が2正1負の解をもつとき、$f(0)$ の符号は？

□ 答：$f(0) > 0$（正の解2個のため）

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□ 問題：問題3の答え $a$ の範囲は？

□ 答：$-11 < a < 5$

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□ 問題：定積分 $\int_0^2 f(t)\,dt$ は $x$ に依存するか？

□ 答：依存しない。定数なので文字でおける

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□ 問題：積分方程式で定数 $k$ とおいたときの基本手順は？

□ 答：$f(x)$ を $k$ で表す→代入して $k$ の方程式→解いて $f(x)$ に戻す

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□ 問題：問題4の答え $f(x)$ は？

□ 答：$f(x) = 3x^2 – 4x + 2$

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□ 問題：$\int_0^x f(t)\,dt = g(x)$ から $f(x)$ を求める方法は？

□ 答：両辺を $x$ で微分（微積分の基本定理）

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□ 問題：定数 $a$ を求めるには、積分の下端を代入する理由は？

□ 答：$\int_a^a f(t)\,dt = 0$ となり、右辺から $a$ が求まるから

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□ 問題：問題5の答え $f(x)$ と $a$ は？

□ 答：$f(x) = 3x^2 – 6x + 1$、$a = 0$

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□ 問題：$|x^2 – 1|$ の場合分けの境界は？

□ 答：$x = \pm 1$。$x \leq -1$ または $x \geq 1$ で $x^2 – 1$、$-1 < x < 1$ で $1 – x^2$

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□ 問題：$f(x) = |x^2 – 1| + 2x + 2$ の最小値とそのときの $x$ は？

□ 答：最小値 $0$、$x = -1$

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□ 問題：問題6の接線 $l$ の方程式は？

□ 答：$y = 2x + 3$

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□ 問題：問題6の面積 $S$ の値は？

□ 答：$\frac{8(\sqrt{2} – 1)}{3}$

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【友達に教えてあげよう】

3次方程式の解の個数、不等式の証明、積分方程式、絶対値関数……どれかでつまずいている友達、周りにいませんか？

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人に教えることで、自分の理解も深まります。苦手な問題を友達に説明するつもりで解き直してみてください。説明できたら、それは本物の理解です。

もし周りに同じ問題で悩んでいる友達がいたら、このページのURLを送ってあげてください。あなたの一言が、友達の「わからない」を「わかった！」に変えるかもしれません。