この記事を読むと、2つのグループに分かれたデータから、全体の平均と分散を求める流れがわかります。
【問題】
15個の値からなるデータがあり、そのうちの10個の値の平均値は $9$、分散は $3$、残り5個の値の平均値は $6$、分散は $9$ である。
(1) このデータの平均値を求めよ。
(2) このデータの分散を求めよ。
まずは自分の力で解いてみてください。「合計 ÷ 個数」で平均、「(2乗の平均) − (平均の2乗)」で分散を求める流れが基本です。
いまから解説します。自分の力で解きましたか？
【解説と解答】分割データの全体の平均・分散
導入
「2つのグループに分かれたデータの、全体の平均・分散を求めよ」という問題では、 各グループの合計や2乗の合計を足し合わせ、全体で割る のが基本です。
この単元でつまずきやすいポイントは以下の3つです。
- 平均：各グループの「個数 × 平均」の合計を、全体の個数で割る
- 分散：「(2乗の平均) − (平均の2乗)」の公式を使う。各グループの2乗の平均は 分散 + (平均)$^2$ で求まる
- 分散を「各グループの分散の平均」で求めてしまう 誤り に注意する
一緒に見ていきましょう。
「解き方」を思い出すための取っ掛かり（初心者向け）
ステップ1：全体の平均を求める
第1群（10個）の合計は $10 \times 9 = 90$、第2群（5個）の合計は $5 \times 6 = 30$ です。全体の合計は $90 + 30 = 120$、個数は $15$ なので、平均は $\frac{120}{15} = 8$ です。
なぜここから始めるか： 分散を求めるには全体の平均が必要です。先に平均を押さえます。
ステップ2：各グループの「2乗の合計」を求める
分散 $s^2$ と平均 $\bar{x}$ の関係式 $s^2 = \overline{x^2} – (\bar{x})^2$ を変形すると、 2乗の平均 $\overline{x^2} = s^2 + (\bar{x})^2$ です。
第1群： $3 + 9^2 = 3 + 81 = 84$（2乗の平均）、2乗の合計は $10 \times 84 = 840$
第2群： $9 + 6^2 = 9 + 36 = 45$（2乗の平均）、2乗の合計は $5 \times 45 = 225$
ステップ3：全体の分散を求める
全体の2乗の平均は $\frac{840 + 225}{15} = \frac{1065}{15} = 71$ です。分散は $(2乗の平均) – (平均の2乗) = 71 – 8^2 = 71 – 64 = 7$ です。
使う武器（公式・定理）
1. 全体の平均（加重平均）
$n_1$ 個のデータ（平均 $\bar{x}_1$）と $n_2$ 個のデータ（平均 $\bar{x}_2$）を合わせたとき、全体の平均は、
$$ \bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{\text{合計}}{\text{全体の個数}} $$
です。各グループの合計（ $n \times \bar{x}$ ）を足して、全体の個数で割ります。
2. 分散の別公式「(2乗の平均) − (平均の2乗)」
分散 $s^2$ は、
$$ s^2 = \overline{x^2} – (\bar{x})^2 $$
と表せます。変形すると 2乗の平均 $\overline{x^2} = s^2 + (\bar{x})^2$ です。
3. 各グループの2乗の合計の求め方
分散 $s^2$ と平均 $\bar{x}$ がわかっているとき、2乗の平均は $\overline{x^2} = s^2 + (\bar{x})^2$ なので、2乗の合計は $n \times \overline{x^2} = n \times (s^2 + \bar{x}^2)$ です。
既習の方はこのセクションを読み飛ばして構いません。
思考のプロセス（Step by Step）
(1) 全体の平均値を求める
Step 1：各グループの合計を求める
第1群（10個、平均 $9$）：合計 $10 \times 9 = 90$
第2群（5個、平均 $6$）：合計 $5 \times 6 = 30$
Step 2：全体の合計と平均を求める
全体の合計は $90 + 30 = 120$、個数は $15$ なので、
$$ \bar{x} = \frac{120}{15} = 8 $$
解答 (1) $\quad \bar{x} = 8$
(2) 全体の分散を求める
Step 1：各グループの2乗の平均を求める
分散の公式 $s^2 = \overline{x^2} – (\bar{x})^2$ を変形すると $\overline{x^2} = s^2 + (\bar{x})^2$ です。
第1群： $\overline{x^2} = 3 + 9^2 = 3 + 81 = 84$
第2群： $\overline{x^2} = 9 + 6^2 = 9 + 36 = 45$
Step 2：各グループの2乗の合計を求める
第1群： $10 \times 84 = 840$
第2群： $5 \times 45 = 225$
全体の2乗の合計は $840 + 225 = 1065$ です。
Step 3：全体の2乗の平均を求める
$$ \overline{x^2} = \frac{1065}{15} = 71 $$
Step 4：分散の公式で全体の分散を求める
$$ s^2 = \overline{x^2} – (\bar{x})^2 = 71 – 8^2 = 71 – 64 = 7 $$
解答 (2) $\quad s^2 = 7$
解答（まとめ）
(1) 平均値 $\bar{x} = 8$
(2) 分散 $s^2 = 7$
【まとめ】分割データの全体の平均・分散のポイント
- 平均：各グループの「個数 × 平均」の合計 ÷ 全体の個数
- 分散：「(2乗の平均) − (平均の2乗)」の公式を使う
- 各グループの2乗の平均は $\overline{x^2} = s^2 + (\bar{x})^2$ で求まる
- 分散は 各グループの分散の単純平均ではない。全体の平均との偏差で計算する
【解き直しのすすめ】本当に理解できているか確認する
「わかったつもり」を防ぐには、 何も見ずに自分の手で解き直す ことが大切です。
解説を読む（インプット）と、自分で解く（アウトプット）は別の力です。解説を見ながらだと「理解した気」になってしまいます。
明日、何も見ずにこの問題が解けるかテストしてみてください。それが本当の実力です。
【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】
□ 問題：2つのグループ（個数 $n_1$, $n_2$、平均 $\bar{x}_1$, $\bar{x}_2$）を合わせたとき、全体の平均は？
□ 答： $\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ （合計 ÷ 全体の個数）
□ 問題：分散の別公式「(2乗の平均) − (平均の2乗)」を式で表すと？
□ 答： $s^2 = \overline{x^2} – (\bar{x})^2$
□ 問題：分散 $s^2$ と平均 $\bar{x}$ がわかっているとき、2乗の平均 $\overline{x^2}$ は？
□ 答： $\overline{x^2} = s^2 + (\bar{x})^2$
□ 問題：第1群（10個、平均9、分散3）の2乗の合計は？
□ 答：2乗の平均 $= 3 + 81 = 84$、2乗の合計 $= 10 \times 84 = 840$
□ 問題：分割データの全体の分散を、各グループの分散の平均で求めてはいけない理由は？
□ 答：分散は「全体の平均」との偏差の2乗の平均。各グループの平均は全体の平均と異なるため、単純平均では誤りになる
□ 問題：全体の分散を求める手順は？
□ 答：①各グループの2乗の平均 $s^2 + \bar{x}^2$ を求める ②2乗の合計を足して全体の2乗の平均を求める ③$(2乗の平均) – (平均の2乗)$ で分散を求める
□ 問題：本問で全体の平均が $8$ になる理由は？
□ 答：合計 $10 \times 9 + 5 \times 6 = 90 + 30 = 120$、 $120 \div 15 = 8$
□ 問題：本問で全体の分散が $7$ になる計算は？
□ 答：2乗の平均 $= \frac{840+225}{15} = 71$、分散 $= 71 – 8^2 = 7$
□ 問題：「加重平均」とは何か？
□ 答：個数（重み）を考慮した平均。 $\frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ のように、各グループの「個数×平均」を足して全体の個数で割る
□ 問題：2乗の合計から2乗の平均を求めるには？
□ 答：2乗の合計 ÷ 個数
【友達に教えてあげよう】
分割データの全体の平均・分散で、「2乗の平均をどう求めるか」がピンとこない友達、周りにいませんか？
この解説を読んだあなたは、「合計で平均」「$s^2 + \bar{x}^2$ で2乗の平均」という流れを押さえています。たった数分で、入試頻出のパターンを身につけられる解説は、なかなかありません。
人に教えると、自分の理解が深まります。ラーニングピラミッドでも「教える」が最も定着率の高い学習法といわれています。このページのURLを送るだけでなく、 友達に解き方を自分の言葉で説明してみてください 。教えるつもりで解くと、曖昧だった部分がはっきりします。説明できたら、本物の理解です。
もし周りに同じ問題で悩んでいる友達がいたら、このページのURLを送ってあげてください。あなたの一言が、友達の「わからない」を「わかった！」に変えるかもしれません。
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