この記事を読むと、$AC=BC$ を垂直二等分線に翻訳する考え方と、円の接線・点と直線の距離公式をつないで座標問題を最後まで解き切る流れがわかります。
【問題】
座標平面上に、$2$点 $A(4,0)$，$B(2,-6)$ と直線 $\ell:2x+y+12=0$ がある。また、$\ell$ 上に $AC=BC$ を満たす点 $C$ をとる。
（1）線分 $AB$ の中点の座標を求めなさい。また、線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求めなさい。
（2）点 $C$ の座標を求めなさい。また、$3$点 $A,B,C$ を通る円を $K$ とする。$K$ の中心の座標と半径を求めなさい。
（3）（2）のとき、点 $A$ における $K$ の接線を $m$ とし、$m$ と $y$ 軸の交点を $P$ とする。また、$\ell$ 上に点 $Q$ をとる。ただし、点 $Q$ は点 $C$ と異なる点とする。$\triangle CPQ$ の面積が $12$ であるとき、点 $Q$ の座標を求めなさい。
いまから解説します。
自分の力で解きましたか？
【図形と方程式】円の接線と点と直線の距離で解く
導入
この問題は一見すると要素が多いですが、軸は次の3つです。
- $AC=BC$ は「$C$ が $AB$ の垂直二等分線上」にあることを意味します。
- 外心は三角形の辺の垂直二等分線の交点です。
- （3）の面積条件は、$\triangle CPQ$ を「底辺 $CP$ と高さ」で処理し、高さを 点と直線の距離公式 で出すと最短です。
使う武器（公式・定理）
既習の方は読み飛ばして大丈夫です。
- 中点：$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
- 垂直な2直線の傾き：$m_1m_2=-1$（$m_1,m_2\neq0$）
- 外心：三辺の垂直二等分線の交点
- 接線：接点における接線は半径に垂直
- 三角形の面積：$\frac{1}{2}\times\text{底辺}\times\text{高さ}$
- 点と直線の距離公式：
$$ \text{直線 }ax+by+c=0\text{ と点 }(x_0,y_0)\text{ の距離 } =\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
思考のプロセス（Step by Step）
（1）中点と垂直二等分線
中点 $M$ は
$$ M\left(\frac{4+2}{2},\frac{0+(-6)}{2}\right)=(3,-3) $$
です。
$AB$ の傾きは
$$ \frac{-6-0}{2-4}=\frac{-6}{-2}=3 $$
よって垂直二等分線の傾きは $-\frac{1}{3}$。中点 $(3,-3)$ を通るから
$$ y+3=-\frac{1}{3}(x-3) $$
整理して
$$ x+3y+6=0 $$
です。
（2）点 $C$ と円 $K$
$C$ は $\ell$ 上かつ $AB$ の垂直二等分線上なので、連立
$$ 2x+y+12=0,\qquad x+3y+6=0 $$
後式から $x=-3y-6$。これを前式に代入して
$$ 2(-3y-6)+y+12=0\Rightarrow -5y=0\Rightarrow y=0,\ x=-6 $$
したがって
$$ C(-6,0) $$
です。
次に円 $K$ の中心（外心）を求めます。$AB$ の垂直二等分線は $x+3y+6=0$。
$A(4,0),C(-6,0)$ より $AC$ の中点は $(-1,0)$、かつ $AC$ は水平なので、$AC$ の垂直二等分線は
$$ x=-1 $$
です。よって中心 $O$ は
$$ O\left(-1,-\frac{5}{3}\right) $$
半径は $OA$：
$$ OA=\sqrt{(4-(-1))^2+\left(0-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)^2} =\sqrt{25+\frac{25}{9}} =\frac{5\sqrt{10}}{3} $$
（3）接線 $m$，点 $P$，点 $Q$
$OA$ の傾きは
$$ \frac{0-(-5/3)}{4-(-1)}=\frac{1}{3} $$
よって接線 $m$ の傾きは $-3$。点 $A(4,0)$ を通るので
$$ m:\ y=-3x+12 $$
$y$ 軸との交点は
$$ P(0,12) $$
です。
$Q$ は $\ell$ 上だから
$$ Q(x,-2x-12) $$
と置けます（$x=-6$ だと $Q=C$）。
ここから面積条件を使います。$\triangle CPQ$ で底辺を $CP$ に取ると
$$ S=\frac{1}{2}\cdot CP\cdot h $$
（$h$ は点 $Q$ から直線 $CP$ への距離）です。
まず直線 $CP$。$C(-6,0),P(0,12)$ より傾きは $2$ だから
$$ CP:\ y=2x+12\ \Longleftrightarrow\ 2x-y+12=0 $$
また
$$ CP=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5} $$
です。
高さ $h$ は点と直線の距離公式で
$$ h=\frac{|2x+(-1)(-2x-12)+12|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} =\frac{|4x+24|}{\sqrt{5}} =\frac{4|x+6|}{\sqrt{5}} $$
したがって
$$ S=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{5}\cdot\frac{4|x+6|}{\sqrt{5}} =12|x+6| $$
面積が $12$ より
$$ 12|x+6|=12\Rightarrow |x+6|=1 $$
よって
$$ x=-5,\ -7 $$
それぞれ
$$ x=-5\Rightarrow y=-2,\qquad x=-7\Rightarrow y=2 $$
なので
$$ Q(-5,-2),\quad Q(-7,2) $$
です。
解答
（1）中点 $(3,-3)$，垂直二等分線 $x+3y+6=0$
（2）$C(-6,0)$，中心 $\left(-1,-\frac{5}{3}\right)$，半径 $\frac{5\sqrt{10}}{3}$
（3）$Q(-5,-2),\ (-7,2)$
【補足】点と直線の距離公式の導出
公式を忘れたときに再構成できるよう、導出を短くまとめます。
法線ベクトル $\vec n=(a,b)$ を忘れたときは、次の復元ができます。
- 直線 $ax+by+c=0$ を $y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$ と見て、方向ベクトルを $\vec d=(b,-a)$ と取る。
- 法線ベクトルは方向ベクトルと垂直だから、$\vec d\cdot\vec n=0$ を満たすものを選ぶ。
- $(b,-a)\cdot(a,b)=ab-ab=0$ なので、$\vec n=(a,b)$（または $(-a,-b)$）と復元できます。
直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルは
$$ \vec n=(a,b) $$
です。直線上の任意の点を $H(x_1,y_1)$、与えられた点を $P(x_0,y_0)$ とすると、距離 $d$ は $\overrightarrow{HP}$ の法線方向成分の絶対値です。
$$ d=\frac{|\overrightarrow{HP}\cdot\vec n|}{|\vec n|} =\frac{|a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
ここで $H$ は直線上なので $ax_1+by_1+c=0$、つまり $ax_1+by_1=-c$。よって分子は
$$ a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1) =(ax_0+by_0)-(ax_1+by_1) =ax_0+by_0+c $$
となり、
$$ d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
が得られます。
【まとめ】座標の大問を崩す順番
- $AC=BC$ は垂直二等分線に翻訳すると一気に式になります。
- 外心は「垂直二等分線どうしの交点」と固定します。
- 接線は半径に垂直。
- 面積条件は、底辺を固定して高さを点と直線の距離で出すと見通しがよいです。
【解き直しのすすめ】公式を丸暗記で終わらせない
この問題の本質は、公式暗記より「どの図形情報をどの式に翻訳するか」です。
解き直しアクション：
- 点と直線の距離公式を、補足セクションを見ずに導出し直してみてください。
- （3）を靴紐公式でも計算し、同じ $12|x+6|$ が出るか確認してください。
明日、何も見ずにこの問題が解けるかテストしてみてください。
それが本当の実力です。
【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】
□ 問題：$A(4,0),B(2,-6)$ の中点は？
□ 答：$(3,-3)$です。
□ 問題：$AB$ の傾きが $3$ のとき、垂直な直線の傾きは？
□ 答：$-\frac{1}{3}$です。
□ 問題：$AB$ の垂直二等分線は？
□ 答：$x+3y+6=0$です。
□ 問題：$C$ はどの連立で求める？
□ 答：$\ell:2x+y+12=0$ と $x+3y+6=0$ の連立です。
□ 問題：点 $C$ の座標は？
□ 答：$(-6,0)$です。
□ 問題：外心を求めるために使った2本目の垂直二等分線は？
□ 答：$AC$ の垂直二等分線 $x=-1$です。
□ 問題：円 $K$ の中心と半径は？
□ 答：中心 $\left(-1,-\frac{5}{3}\right)$、半径 $\frac{5\sqrt{10}}{3}$です。
□ 問題：接線 $m$ の方程式は？
□ 答：$y=-3x+12$です。
□ 問題：点と直線の距離公式を書いてください。
□ 答：$\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$です。
□ 問題：$CP:2x-y+12=0$ と $Q(x,-2x-12)$ から高さ $h$ は？
□ 答：$h=\dfrac{4|x+6|}{\sqrt{5}}$です。
□ 問題：$\triangle CPQ$ の面積 $S$ は？
□ 答：$S=12|x+6|$です。
□ 問題：$S=12,\ Q\neq C$ より $Q$ は？
□ 答：$Q(-5,-2),\ Q(-7,2)$です。
【友達に教えてあげよう】
図形と方程式の大問で、途中までは進めるのに（3）で止まる友達、周りにいませんか？
この問題は、垂直二等分線・外心・接線までは定番ですが、最後の面積条件を点と直線の距離で処理できるかが差になります。ここを言語化して説明できると、同じ型の問題での安定感が一段上がります。
もし同じ単元で悩んでいる友達がいたら、このページのURLを送ってあげてください。あなたの一言が、友達の「最後の一問で止まる」を減らすきっかけになるかもしれません。
【SEO・メタデータ】
【タイトル案】
YouTube用：
座標平面Y4を完答｜垂直二等分線・外心・接線・点と直線の距離で面積条件
ブログ用：
図形と方程式：円の接線と点と直線の距離公式で $Q$ を求める
【メタディスクリプション】（約120文字）
$AC=BC$ を垂直二等分線で処理して $C(-6,0)$、外心と半径を求め、接線と $y$ 軸の交点 $P(0,12)$ を出します。最後は点と直線の距離公式で高さを作り、$\triangle CPQ$ の面積条件から $Q(-5,-2),(-7,2)$ を導きます。
【H2 に SEO キーワードを含む見出し】（記事内）
- 【図形と方程式】円の接線と点と直線の距離で解く
- 【補足】点と直線の距離公式の導出
- 【解き直しのすすめ】公式を丸暗記で終わらせない
【質問を促す文言】
点と直線の距離公式を、法線ベクトルの射影から自力で導出できましたか？コメントで教えてください。
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提案スラッグ： coord-circle-distance-area提案カテゴリー名： 図形と方程式
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親カテゴリー： 数II【この Vault 内でのリンク】
- 記事：20260504-coord-y4-circle-tangent-triangle-area.md
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座標平面のY4問題で、垂直二等分線から外心と接線を求め、点と直線の距離公式で三角形の面積条件を解いて点Qを決める解説サムネイルです。
【YouTube 概要欄】
中点・垂直二等分線・外心・接線という王道の流れに、最後は点と直線の距離公式を接続して完答します。公式の導出も入れているので、丸暗記ではなく再現可能な理解にしたい人向けです。
◎チャンネル登録・高評価もうれしいです。
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図形と方程式の大問を、垂直二等分線→外心→接線→点と直線の距離で最後までつなぎます。 #高校数学 #図形と方程式 #点と直線の距離 #コスタバ
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最後の面積条件は、靴紐ではなく底辺と高さで処理しました。高さを点と直線の距離公式で出すと、式の意味がつかみやすくなります。
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$C(-6,0)$、外心 $\left(-1,-\frac{5}{3}\right)$、$P(0,12)$、$Q(-5,-2),(-7,2)$。最後は点と直線の距離公式で面積条件。#高校数学 #図形と方程式
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座標の大問は、図形情報を式に翻訳する順番が決まると安定します。
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公式の使い方だけでなく、点と直線の距離公式の導出まで丁寧に解説しています。 この記事を読むと、$AC=BC$を垂直二等分線に翻訳すること、外心は垂直二等分線の交点であること、接線は半径に垂直であること、面積を底辺と高さ（点と直線の距離）で立てる流れがわかります。
【問題】
座標平面上に、$2$点$A(4,0)$，$B(2,-6)$と直線$\ell:2x+y+12=0$がある。また、$\ell$上に$AC=BC$を満たす点$C$をとる。
（1）線分$AB$の中点の座標を求めなさい。また、線分$AB$の垂直二等分線の方程式を求めなさい。
（2）点$C$の座標を求めなさい。また、$3$点$A,B,C$を通る円を$K$とする。$K$の中心の座標と半径を求めなさい。
（3）（2）のとき、点$A$における$K$の接線を$m$とし、$m$と$y$軸の交点を$P$とする。また、$\ell$上に点$Q$をとる。ただし、点$Q$は点$C$と異なる点とする。$\triangle CPQ$の面積が$12$であるとき、点$Q$の座標を求めなさい。
※問題Y4・進研模試風の配点表記を題材としたものです。
いまから解説します。
自分の力で解きましたか？
【図形と方程式 円の接線と三角形の面積】解説と解答
導入
（1）は中点公式と垂直二等分線＝中点を通り$AB$に垂直の定義そのものです。
（2）の点$C$は「$\ell$上」かつ「$A$と$B$から等距離」なので、$AB$の垂直二等分線と$\ell$の交点に決まります。さらに、$3$点$A,B,C$を通る円の中心（外心）は、$2$本の垂直二等分線の交点で求めるのが定石です（この三角形では$AC$が水平になりやすく、片方の垂直二等分線が$x$一定になります）。
（3）は、接線が半径$OA$に垂直であることから$m$の方程式が決まり、$P$が出ます。面積条件は、$C,P$が固定されたあと$Q$が直線$\ell$上にあるので、$Q$の座標を$1$変数で置き、$\triangle CPQ$を底辺$CP$と高さ（$Q$から直線$CP$への距離）で表すと方程式になります。
取っ掛かりは次の順番です。
- （1）で中点と$AB$の傾きから、垂直二等分線の傾きを負の逆数で決める。
- （2）で$\ell$と垂直二等分線の連立方程式から$C$。続けて$AC$（または$BC$）の垂直二等分線を追加し、外心を求める。
- （3）で接線の傾きを決め、$P$を求めたうえで、底辺×高さから$Q$の座標方程式を解く。
使う武器（公式・定理）
既習の方は読み飛ばして大丈夫です。
- 中点：$\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
- 垂直な直線の傾き：$m$と垂直なら$-\dfrac{1}{m}$（$m\neq0$）
- 外心：三辺の垂直二等分線の交点
- 接線：円の接点における接線は、その点と中心を結ぶ半径に垂直
- 三角形の面積：$S=\dfrac{1}{2}\times\left(\text{底辺の長さ}\right)\times\left(\text{高さ}\right)$（高さは頂点から底辺の直線に下ろした垂線の長さ）
- 点と直線の距離：直線$ax+by+c=0$と点$\left(x_0,y_0\right)$の距離は$\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
思考のプロセス（Step by Step）
（1）中点と垂直二等分線
中点$M$は
$$ M\left(\dfrac{4+2}{2},\dfrac{0+(-6)}{2}\right)=(3,-3) $$
です。
$AB$の傾きは
$$ \dfrac{-6-0}{2-4}=\dfrac{-6}{-2}=3 $$
なので、垂直二等分線の傾きは$-\dfrac{1}{3}$です。$M(3,-3)$を通るので
$$ y+3=-\dfrac{1}{3}(x-3) $$
整理すると
$$ x+3y+6=0 $$
です。
（2）点$C$と円$K$
点$C$は$\ell:2x+y+12=0$上にあり、かつ$AC=BC$なので、$AB$の垂直二等分線$x+3y+6=0$上にもあります。連立して
$$ 2x+y+12=0,\qquad x+3y+6=0 $$
後式より$x=-3y-6$を代入すると
$$ 2(-3y-6)+y+12=0\Rightarrow -5y=0\Rightarrow y=0 $$
したがって$x=-6$で、$C(-6,0)$です（検算：$AC=10$，$BC=10$）。
円$K$の中心は外心なので、たとえば$AB$の垂直二等分線$x+3y+6=0$と、$AC$の垂直二等分線の交点を求めます。$A(4,0)$，$C(-6,0)$より中点は$(-1,0)$で、$AC$は$x$軸に平行なので、垂直二等分線は$x=-1$です。
$$ x=-1,\quad x+3y+6=0 $$
より$y=-\dfrac{5}{3}$で、中心は$\left(-1,-\dfrac{5}{3}\right)$です。
半径は中心と$A$の距離：
$$ \sqrt{(4-(-1))^2+\left(0-\left(-\dfrac{5}{3}\right)\right)^2} =\sqrt{25+\dfrac{25}{9}} =\dfrac{5\sqrt{10}}{3} $$
です。
（3）接線$m$，点$P$，点$Q$
中心$O\left(-1,-\dfrac{5}{3}\right)$と$A(4,0)$を結ぶ直線$OA$の傾きは
$$ \dfrac{0-\left(-\dfrac{5}{3}\right)}{4-(-1)}=\dfrac{1}{3} $$
接線$m$は$OA$に垂直なので、傾きは$-3$です。$A(4,0)$を通るので
$$ y=-3(x-4)\Rightarrow y=-3x+12 $$
$y$軸との交点は$x=0$で$y=12$なので、$P(0,12)$です。
点$Q$は$\ell$上にあるので、$2x+y+12=0$より$y=-2x-12$として$Q(x,-2x-12)$と置けます（$C(-6,0)$は$x=-6$）。
$\triangle CPQ$の面積は、底辺を線分$CP$にとり、高さを$Q$から直線$CP$への距離として求めます。
まず直線$CP$の方程式を求めます。$C(-6,0)$，$P(0,12)$より傾きは$\dfrac{12-0}{0-(-6)}=2$なので
$$ y=2(x+6)\quad\Rightarrow\quad 2x-y+12=0 $$
底辺の長さは
$$ CP=\sqrt{(0-(-6))^2+(12-0)^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} $$
です。点$Q(x,-2x-12)$から直線$2x-y+12=0$までの距離（高さ）$h$は、点と直線の距離の公式より
$$ h=\dfrac{\left|2x-(-2x-12)+12\right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} =\dfrac{\left|4x+24\right|}{\sqrt{5}} =\dfrac{4\left|x+6\right|}{\sqrt{5}} $$
したがって
$$ S=\dfrac{1}{2}\cdot CP\cdot h =\dfrac{1}{2}\cdot 6\sqrt{5}\cdot\dfrac{4\left|x+6\right|}{\sqrt{5}} =12\left|x+6\right| $$
$S=12$なので$|x+6|=1$で、$x=-5$または$x=-7$です（$x=-6$は$Q=C$なので除外）。
したがって
$$ Q(-5,-2),\quad Q(-7,2) $$
です。
解答
（1）中点$(3,-3)$，垂直二等分線$x+3y+6=0$
（2）$C(-6,0)$，中心$\left(-1,-\dfrac{5}{3}\right)$，半径$\dfrac{5\sqrt{10}}{3}$
（3）$Q(-5,-2)$，$Q(-7,2)$
【図形と方程式 円と接線のまとめ】
- $AC=BC$は「$C$は$AB$の垂直二等分線上」に同値です（定義から）。
- 外心は垂直二等分線の交点で、計算を楽にするために水平・垂直に近い辺から先に垂直二等分線を作るとよいです。
- 接線は「中心と接点を結ぶ半径に垂直」で、傾きは負の逆数です。
- 直線上の点を$1$変数で置くと、面積条件が方程式に落ちます。
- （3）のように底辺が定まるなら、点と直線の距離で高さを出すのが分かりやすいです。
【解き直しのすすめ】面積で絶対値を外す
（3）では最後に$|x+6|=1$となります。絶対値を外し忘れると解が一つしか出ず、配点の意図（複数解）に届きません。
解き直しアクション：
- （2）の外心を、$BC$の垂直二等分線でも求めて一致するか確認してください。
- （3）で$Q(-5,-2)$のとき、底辺$CP$と高さ$h$を実際に数値代入して$S=12$になることを確認してください。
明日、何も見ずにこの問題が解けるかテストしてみてください。
それが本当の実力です。
【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】
□ 問題：$A(4,0)$と$B(2,-6)$の中点は？
□ 答：$(3,-3)$です。
□ 問題：$AB$の傾きと、垂直二等分線の傾きの関係は？
□ 答：$AB$の傾きが$3$なら、垂直な直線の傾きは$-\dfrac{1}{3}$です。
□ 問題：$AB$の垂直二等分線の方程式（中点$(3,-3)$を通る）は？
□ 答：$x+3y+6=0$です。
□ 問題：点$C$はどのように求めますか？
□ 答：$\ell:2x+y+12=0$と垂直二等分線$x+3y+6=0$の交点なので、$C(-6,0)$です。
□ 問題：外心を求めるとき、この解答で使った$2$本目の垂直二等分線はどれですか？
□ 答：$AC$の垂直二等分線で、$x=-1$です。
□ 問題：外心の座標は？
□ 答：$\left(-1,-\dfrac{5}{3}\right)$です。
□ 問題：半径$R$は？
□ 答：$\dfrac{5\sqrt{10}}{3}$です。
□ 問題：点$A$における接線$m$の傾きを決める考え方は？
□ 答：接線は半径$OA$に垂直なので、$OA$の傾き$\dfrac{1}{3}$に対して$-3$です。
□ 問題：$m$と$y$軸の交点$P$は？
□ 答：$P(0,12)$です。
□ 問題：$\ell$上の点を$Q(x,-2x-12)$と置いたとき、底辺$CP$と高さ（$Q$から直線$CP$の距離）で$S$を表すと？
□ 答：$CP=6\sqrt{5}$，$h=\dfrac{4|x+6|}{\sqrt{5}}$なので、$S=\dfrac{1}{2}\cdot CP\cdot h=12|x+6|$です。
□ 問題：$S=12$で$Q\neq C$のとき、$x$の値は？
□ 答：$x=-5$または$x=-7$です。
□ 問題：そのときの$Q$の座標は？
□ 答：$(-5,-2)$と$(-7,2)$です。
【友達に教えてあげよう】
「外心って公式暗記だけど、連立方程式で落ちる」という友達、周りにいませんか？
この記事では、$AC=BC$を垂直二等分線に落とし、外心を交点で取りにいく流れに固定しています。（3）も、接線→$P$→$Q$を$1$変数、の順です。
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