- 背理法で解く無理数の証明｜基礎演習6問（1行改行ていねい解説）
問題
1
$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{18}$ が無理数であることを証明しなさい。
2
$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$3+\sqrt{2}$ が無理数であることを証明しなさい。
3
$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$2\sqrt{3}$ が無理数であることを証明しなさい。
4
$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{20}$ が無理数であることを証明しなさい。
5
$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1}{\sqrt{2}}$ が無理数であることを証明しなさい。
6
$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$4-\sqrt{2}$ が無理数であることを証明しなさい。
解答解説
問1 の解説
背理法で示します。
$\sqrt{18}$ が有理数であると仮定します。
まず、
$$ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2} $$
です。
したがって、
$$ \sqrt{2}=\frac{\sqrt{18}}{3} $$
となります。
ここで、
「有理数 $\div$ 有理数（$0$でない）= 有理数」
なので、
$\frac{\sqrt{18}}{3}$ は有理数です。
よって $\sqrt{2}$ は有理数になります。
これは「$\sqrt{2}$ は無理数」という前提に矛盾します。
したがって仮定は誤りです。
よって $\sqrt{18}$ は無理数です。
問2 の解説
背理法で示します。
$3+\sqrt{2}$ が有理数であると仮定します。
このとき、
$$ \sqrt{2}=\left(3+\sqrt{2}\right)-3 $$
と変形できます。
右辺は、
「有理数 $-$ 有理数 = 有理数」
なので有理数です。
すると $\sqrt{2}$ は有理数になります。
これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾します。
したがって仮定は誤りです。
よって $3+\sqrt{2}$ は無理数です。
問3 の解説
背理法で示します。
$2\sqrt{3}$ が有理数であると仮定します。
このとき、
$$ \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{2} $$
です。
右辺は、
「有理数 $\div$ 有理数（$0$でない）= 有理数」
なので有理数です。
すると $\sqrt{3}$ は有理数になります。
これは $\sqrt{3}$ が無理数という前提に矛盾します。
したがって仮定は誤りです。
よって $2\sqrt{3}$ は無理数です。
問4 の解説
背理法で示します。
$\sqrt{20}$ が有理数であると仮定します。
まず、
$$ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5} $$
です。
したがって、
$$ \sqrt{5}=\frac{\sqrt{20}}{2} $$
となります。
右辺は有理数です。
よって $\sqrt{5}$ は有理数になります。
これは $\sqrt{5}$ が無理数であることに矛盾します。
したがって仮定は誤りです。
よって $\sqrt{20}$ は無理数です。
問5 の解説
背理法で示します。
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} $$
が有理数であると仮定します。
このとき、
$$ \sqrt{2}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} $$
です。
右辺は、
「$0$でない有理数の逆数は有理数」
より有理数です。
すると $\sqrt{2}$ は有理数になります。
これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾します。
したがって仮定は誤りです。
よって
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} $$
は無理数です。
問6 の解説
背理法で示します。
$4-\sqrt{2}$ が有理数であると仮定します。
このとき、
$$ \sqrt{2}=4-\left(4-\sqrt{2}\right) $$
と変形できます。
右辺は、
「有理数 $-$ 有理数 = 有理数」
なので有理数です。
すると $\sqrt{2}$ は有理数になります。
これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾します。
したがって仮定は誤りです。
よって $4-\sqrt{2}$ は無理数です。
解くときの型（共通テンプレ）
- 「有理数である」と仮定します。
- その仮定から、既知の無理数（$\sqrt{2}$ など）が有理数になる式を作ります。
- 「既知の無理数が有理数になる」という矛盾を述べます。
- 仮定が誤りと結論し、無理数であることを示します。
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