【問題】
157 （1） 整式 $x^3 + 2x^2 + ax + b$ は $x-1$ で割り切れ、 $x+2$ で割ると $6$ 余る。定数 $ a $, $b$ の値を求めよ。
（2） $1$ の $3$ 乗根をすべて求めよ。
（3） 次の方程式を解け。
$$ ( \text{i} ) \quad x^3 – 9x^2 – 25x + 33 = 0 $$
$$ ( \text{ii} ) \quad 2x^3 + x^2 + x – 1 = 0 $$
$$ ( \text{iii} ) \quad x^4 + 3x^3 – 4x^2 – 3x + 3 = 0 $$
⚠️ 生徒のみなさんへ ⚠️ まずは、この問題を自分のノートに書き写して、何も見ずに解いてみましょう。「わかる」と「できる」は違います。
…解けましたか？ それでは、解説を始めます。自分の答え合わせとして活用してくださいね。
【解説】 因数定理と剰余の定理・高次方程式の解法
こんにちは、スマスクの数学講師です。 今回の問題は、 「整式の割り算（因数定理・剰余の定理）」 と 「高次方程式」 の基礎力を問う良問揃いです。 特に（3）のような高次方程式は、適当に数字を当てはめるだけでなく、「係数の性質」を見抜く力が試されますよ。一緒に見ていきましょう！
(1) 因数定理と剰余の定理の使い分け
ここでは $P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ とおいて考えます。
-
「 $ x-1 $ で割り切れる」とは？ これは因数定理より、 $P(1) = 0$ が成り立つということです。
P(1) = 1^3 + 2(1)^2 + a(1) + b = 0
$$
1 + 2 + a + b = 0 \quad \Longrightarrow \quad a + b = -3 \quad \cdots ①
$$ $$
-
「$ x+2 $ で割ると $6$ 余る」とは？ これは剰余の定理より、 $P(-2) = 6$ が成り立つということです。
$$ $$
P(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + a(-2) + b = 6
$$ $$
$$ $$
-8 + 8 – 2a + b = 6 \quad \Longrightarrow \quad -2a + b = 6 \quad \cdots ②
$$ $$
あとは、①と②の連立方程式を解くだけですね。 ① $-$ ② より、
$$ (a + b) – (-2a + b) = -3 – 6 $$
$$ 3a = -9 \quad \Longrightarrow \quad a = -3 $$
これを①に代入して、
$$ -3 + b = -3 \quad \Longrightarrow \quad b = 0 $$
(2) 1の3乗根
「$ 1 $の$ 3 $ 乗根」とは、「$ 3 $ 乗して $1$ になる数」のことです。つまり、方程式 $x^3 = 1$ を解けばOKです。
$$ x^3 – 1 = 0 $$
左辺を因数分解の公式 $a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を使って変形します。
$$ (x – 1)(x^2 + x + 1) = 0 $$
よって、 $x – 1 = 0$ または $x^2 + x + 1 = 0$ です。
- $x – 1 = 0$ より、 $x = 1$
- $x^2 + x + 1 = 0$ は解の公式を使って、 $$ $$ $$ $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} $$ $$ $$ $$
この虚数解 $\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ は、よく $ \omega $（オメガ）とも呼ばれる重要な数字ですね。
(3) 高次方程式の解き方
因数定理を使って、「代入して $0$ になる $x$ の値（解の候補）」を探すのが基本戦略です。
(i) $ x^3 – 9x^2 – 25x + 33 = 0 $
定数項 $33$ の約数（$ \pm 1, \pm 3, \pm 11, \pm 33 $）の中から探します。 $x = 1$ を代入してみると…
$$ 1 – 9 – 25 + 33 = 34 – 34 = 0 $$
ビンゴ！ $x-1$ を因数に持ちます。 組立除法などで割り算を行うと、
$$ (x – 1)(x^2 – 8x – 33) = 0 $$
後ろのカッコ内をさらに因数分解します。
$$ (x – 1)(x + 3)(x – 11) = 0 $$
よって解は $x = 1, -3, 11$
(ii) $ 2x^3 + x^2 + x – 1 = 0 $
係数が $1$ ではないので、解の候補は $\pm \frac{\text{定数項の約数}}{\text{最高次の係数の約数}}$ となります。 $x = \frac{1}{2}$ を試してみましょう。
$$ 2\left( \frac{1}{8} \right) + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} – 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} – 1 = 0 $$
成り立ちました！ $x = \frac{1}{2}$ が解なので、 $2x-1$ を因数に持ちます。
$$ (2x – 1)(x^2 + x + 1) = 0 $$
$x^2 + x + 1 = 0$ の部分は（2）で解いたものと同じですね。 よって解は $x = \frac{1}{2}, \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$
(iii) $ x^4 + 3x^3 – 4x^2 – 3x + 3 = 0 $
4次方程式です。まずは $x = 1$ を試します。
$$ 1 + 3 – 4 – 3 + 3 = 0 \quad (\text{OK}) $$
次に $x = -1$ を試します。
$$ 1 – 3 – 4 + 3 + 3 = 0 \quad (\text{OK}) $$
$x=1$ と $x=-1$ が解なので、 $(x-1)(x+1) = x^2 – 1$ で割り切れることがわかります。 実際に割り算（筆算）をすると、
$$ (x^2 – 1)(x^2 + 3x – 3) = 0 $$
前半からは $ x = \pm 1 $。 後半の $x^2 + 3x – 3 = 0$ は解の公式より、
$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2} $$
【解答】
(1)
$$ a = -3, \quad b = 0 $$
(2)
$$ x = 1, \quad \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} $$
(3) (i)
$$ x = 1, \quad -3, \quad 11 $$
(ii)
$$ x = \frac{1}{2}, \quad \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} $$
(iii)
$$ x = \pm 1, \quad \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2} $$
【まとめ】 因数定理と高次方程式のポイント
- 因数定理・剰余の定理:
- $x – \alpha$ で割り切れる $\Longleftrightarrow P(\alpha) = 0$
- $x – \alpha$ で割った余り $\Longleftrightarrow P(\alpha)$
- この2つはセットで覚えましょう。
- 高次方程式の解き方:
- まずは $P(\alpha) = 0$ となる $\alpha$ を見つけること（定数項の約数が候補）。
- 1つ見つけたら、組立除法などで次数を下げていく（因数分解する）。
- 次数が高い場合は、複数の解が見つかる場合もあるので、諦めずに探す。
【解き直しのすすめ】 わかったつもりで終わらせない学習法
解説を読んで「なるほど！」と思っただけでは、試験で解けるようにはなりません。それは**「インプット」ができただけで、「アウトプット」**の練習が足りていないからです。
私が見てきた生徒さんでも、解説動画を見た直後は「簡単じゃん」と言うのですが、翌日同じ問題を出すと手が止まってしまう子がたくさんいました。
今すぐ、解説を隠して、もう一度白い紙に最初から計算過程を書いてみてください。 特に（3）の(ii)や(iii)のような計算量が多い問題で、途中でミスなく最後までたどり着けるかどうかが、実力の分かれ目です。がんばって！
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