【問題】
2次方程式
$$x^2 – 2mx + 3m = 0$$ が実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。
【解答】
$$m \le 0, \quad 3 \le m$$
導入
こんにちは、スマスクです！ この記事では、2次方程式が**「実数解をもつ」という条件が与えられたときに、係数に含まれる文字（定数 $m$）の範囲を求める方法を解説します ✏️。 「実数解をもつ」とはどういうことか？ それを数学的にどう表現するのか？ キーワードは判別式 $D$** です。この便利な道具を使って、問題をサクッと解いていきましょう！
各問題の解説
考え方のポイント
2次方程式 $$ax^2 + bx + c = 0$$ の解の種類は、判別式 $D = b^2 – 4ac$ の符号で決まります。
- $D > 0$ のとき：異なる2つの実数解をもつ
- $D = 0$ のとき：ただ1つの実数解（重解）をもつ
- $D < 0$ のとき：実数解をもたない（虚数解をもつ）
今回のように「実数解をもつ」と言われたら、1と2の両方の場合が含まれるので、条件は $D \ge 0$ となります。
定数 $m$ の値の範囲を求める
詳しい解説: ステップ1：判別式 $D$ を計算する 与えられた2次方程式 $$x^2 – 2mx + 3m = 0$$ において、係数はそれぞれ $a=1, \quad b=-2m, \quad c=3m$ です。 これを判別式の公式に代入します。 $$D = (-2m)^2 – 4(1)(3m)$$ $$= 4m^2 – 12m$$
（補足：$x$ の係数が偶数（$2 \times (-m)$）なので、$D/4$ の公式を使ってもOKです。その場合は $D/4 = (-m)^2 – 1(3m) = m^2 – 3m$ となり、計算が少し楽になります。）
ステップ2：条件 $D \ge 0$ を解く 「実数解をもつ」ための条件は $D \ge 0$ なので、 $$4m^2 – 12m \ge 0$$ この2次不等式を解きます。 まず、両辺を4で割って簡単にします。 $$m^2 – 3m \ge 0$$ 左辺を因数分解します。 $$m(m – 3) \ge 0$$
ステップ3：解の範囲を求める 2次不等式 $m(m – 3) \ge 0$ の解は、グラフをイメージするとわかりやすいです。 $y = m(m-3)$ のグラフは、下に凸で、横軸（m軸）と $0$ と $3$ で交わります。 グラフが0以上（上側）になる範囲なので、 $$m \le 0, \quad 3 \le m$$ となります。
答え: $$m \le 0, \quad 3 \le m$$
判別式のまとめ
- 2次方程式が「実数解をもつ」条件は、判別式 $D \ge 0$ です。
- 「異なる2つの実数解」なら $D > 0$、「重解」なら $D = 0$ です。
- 計算の最後に2次不等式を解くことになるので、因数分解と不等号の向きに注意しましょう。
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