【問題】
92 熱容量・熱量
質量 $400\text{g}$ の鉄製の容器に，水 $600\text{g}$ が入っている。 鉄の比熱容量を $0.45\text{J}/(\text{g}\cdot\text{K})$ ，水の比熱容量を $4.2\text{J}/(\text{g}\cdot\text{K})$ とする。
(1) 鉄製の容器 $400\text{g}$ の熱容量を求めよ。 (2) 水 $600\text{g}$ の熱容量を求めよ。 (3) $8.1 \times 10^3\text{J}$ の熱量を与えたとき，上昇する温度は何 $\text{K}$ か。
【まずは自分の力で考えてみましょう】
「熱容量」と「比熱容量」。 似たような名前で混乱していませんか？ 「どっちがどっちだっけ…？」となって公式を丸暗記しようとすると、物理はつまらなくなってしまいます。
まずは公式を見ずに、「単位」に注目して計算式を作ってみてください。 …どうですか？ 自分の力で解けましたか？
それでは、解説を始めます！
【解説】熱容量と比熱容量の違いをマスターしよう
こんにちは、スマスクの「先生」です。 今日は物理基礎の「熱」の分野で、非常に重要な計算問題を解説します。
この問題の最大のポイントは、「容器と水はセットで温まる」 ということです。 お鍋でお湯を沸かすとき、水だけじゃなくてお鍋自体も熱くなりますよね？ だから、熱を加えたときの温度変化を考えるときは、「容器の熱容量」と「水の熱容量」を合体させて考える必要があります。
(1) 鉄製容器の熱容量
まずは言葉の定義をおさらいしましょう。
- **比熱容量（ $ c $）:物質 $ 1\text{g} $ ** を $1\text{K}$ 上昇させるのに必要な熱量。単位は $\text{J}/(\text{g}\cdot\text{K})$ 。
- **熱容量（ $ C $）: その物体 全体** を$ 1\text{K} $ 上昇させるのに必要な熱量。単位は $\text{J}/\text{K}$ 。
つまり、比熱容量（ $1\text{g}$ あたりのパワー）に質量（何グラムあるか）を掛ければ、その物体の熱容量になります。 公式で書くとこれです。
$$ C = mc $$
今回は、鉄の質量 $m = 400\text{g}$ 、比熱容量 $c = 0.45\text{J}/(\text{g}\cdot\text{K})$ なので、これらを掛け算すればOKです。
(2) 水の熱容量
これも(1)と同じ考え方です。 物質が「水」に変わっただけですね。
水の質量 $m = 600\text{g}$ 、比熱容量 $c = 4.2\text{J}/(\text{g}\cdot\text{K})$ を掛け算して、水全体を $1\text{K}$ 上昇させるのに必要なエネルギー（熱容量）を求めましょう。
(3) 全体の上昇温度
ここがこの問題のゴールです。 「熱量 $Q$ を与えたら、温度が $\Delta T$ 上がった」という関係式を作りたいのですが、温める対象は「鉄の容器」と「水」の両方です。
こういうときは、「全体としての熱容量」 を考えます。 鉄の容器を $1\text{K}$ 上げるのに必要なエネルギー（(1)の答え）と、水を $1\text{K}$ 上げるのに必要なエネルギー（(2)の答え）を足し合わせれば、「この装置全体を $1\text{K}$ 上げるのに必要なエネルギー」になりますよね。
全体の熱容量 $$ C{\text{total}} = C{Fe} + C_{water} $$
そして、熱量の公式を使います。
$$ Q = C_{\text{total}} \Delta T $$
ここに、与えられた熱量 $Q = 8.1 \times 10^3\text{J}$ を代入すれば、上昇温度 $\Delta T$ が求まります。 計算ミスに気をつけて解いていきましょう！
【解答】
(1) 鉄製の容器の熱容量を $C_1$ とする。 $C = mc$ より、
$$ C_1 = 400 \times 0.45 = 180 $$
答え： ** $180\text{J}/\text{K}$ **
(2) 水の熱容量を $C_2$ とする。 $C = mc$ より、
$$ C_2 = 600 \times 4.2 = 2520 $$
答え： ** $2520\text{J}/\text{K}$ ** （有効数字2桁で答えるなら $2.5 \times 10^3\text{J}/\text{K}$ ですが、計算途中なのでそのままにしておきます）
(3) 容器と水を含めた全体の熱容量 $C$ は、
$$ C = C_1 + C_2 = 180 + 2520 = 2700\text{J}/\text{K} $$
与えられた熱量 $Q = 8.1 \times 10^3\text{J} = 8100\text{J}$ である。 上昇する温度を $\Delta T$ とすると、$ Q = C \Delta T $ より、
$$ 8100 = 2700 \times \Delta T $$
これより、
$$ \Delta T = \frac{8100}{2700} = \frac{81}{27} = 3.0 $$
答え： ** $3.0\text{K}$ **
【まとめ】熱容量計算の重要ポイント
今回の問題のポイントを整理しましょう。
- 比熱容量 $c$ と熱容量 $C$ の関係: $C = mc$ （熱容量 ＝ 質量 × 比熱容量）。単位を見て確認しよう！
- 容器と液体はセット: 容器に入った液体を加熱するときは、それぞれの熱容量を足し合わせて「全体の熱容量」として考えるのがコツ。
- 基本公式: $Q = C \Delta T$ （熱量 ＝ 熱容量 × 温度変化）。これを使いこなそう。
【解き直しのすすめ】「計算できる」と「理解している」は違う！
解説を読んで「なるほど、足して割るだけか」と思いましたか？ でも、物理の怖さはここからです。
今すぐ、数字を変えて自分で問題を作って解いてみてください。 例えば、「もし鉄の容器が200gだったら？」「水が半分だったら？」 そうやって自分で問いかけることで、公式の意味が脳に深く刻まれます。
何も見ずに、白い紙にスラスラと式が書けるようになるまで、必ず解き直しをしてくださいね！
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