1次不定方程式の3パターン完全解説｜特殊解・一般解・正の整数解【数A・整数】

【問題】

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156 $14x + 23y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を $1$ つ答えよ。

157 $1$ 次不定方程式 $275x + 61y = 1$ のすべての整数解を求めよ。

158 等式 $3x + 4y = 42$ を満たす正の整数 $x$, $y$ の組をすべて求めよ。

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まずは自力で解いてみてください。3問とも「1次不定方程式」ですが、聞かれていることが少しずつ違います。156は「1つ」、157は「すべて」、158は「正の整数」という制約がついています。自分の力で解きましたか？

では、いまから解説します。

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【解説と解答】1次不定方程式の3パターンを制覇する

導入：3問の「違い」が重要

この3問、どれも「1次不定方程式」ですが、求めるものが段階的に変わっています。

基本の流れは共通：

1. $a$ と $b$ の最大公約数が $1$（互いに素）を確認 → 整数解が存在する
2. 特殊解を1つ見つける：$y = \dfrac{c – ax}{b}$ に $x = 0, 1, 2, \ldots$ を代入して $y$ が整数になる値を探す
3. 必要なら一般解を公式で表す：$x = p + bk$、$y = q – ak$
4. 「すべての正の整数解」のときは $x > 0$ かつ $y > 0$ の条件を $k$ に課す

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使う武器（公式・定理）

1次不定方程式の一般解：

$a$、$b$ が互いに素のとき、$ax + by = c$ の1つの整数解を $(p, q)$ とすると、すべての整数解は

$$ x = p + bk, \quad y = q – ak \quad (k \text{ は整数}) $$

特殊解の見つけ方：

$ax + by = c$ を $y$ について解き、$x = 0, 1, 2, \ldots$ を代入して $y$ が整数になる $x$ を探す。

$$ y = \frac{c – ax}{b} $$

$y$ が整数になる条件 → $(c – ax)$ が $b$ で割り切れること。

すでに知っている方は、思考のプロセスに進んでください。

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思考のプロセス（Step by Step）

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問題156：$14x + 23y = 1$ の特殊解を1つ求める

ステップ1：互いに素か確認

GCD$(14, 23) = 1$（互いに素）→ 整数解が存在します。

ステップ2：$y$ について解いて、$x$ を小さい値から試す

$$ y = \frac{1 – 14x}{23} $$

$y$ が整数になるには $(1 – 14x)$ が $23$ で割り切れる必要がある。$x$ に $0$ から順に代入する：

$x = 5$ のとき $y = -3$ → 特殊解：$(x, y) = (5,\ -3)$

確認： $14 \times 5 + 23 \times (-3) = 70 – 69 = 1$ ✓

解答：

$$ \boxed{(x, y) = (5, -3)} $$

（注：特殊解は1つとは限らない。例えば $(x, y) = (-18, 11)$ なども正解。確認：$14 \times (-18) + 23 \times 11 = -252 + 253 = 1$ ✓）

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問題157：$275x + 61y = 1$ のすべての整数解を求める

ステップ1：互いに素か確認

$275 = 61 \times 4 + 31$、$61 = 31 \times 2 – 1$ より、$275$ と $61$ の最大公約数は $1$ ✓

ステップ2：$y$ について解いて、$x$ を小さい値から試す

$$ y = \frac{1 – 275x}{61} $$

$y$ が整数になるには $(1 – 275x)$ が $61$ で割り切れる必要がある。$x$ に小さい整数を順に代入する：

$x = 2$ のとき $y = -9$ → 特殊解：$(p, q) = (2,\ -9)$

確認： $275 \times 2 + 61 \times (-9) = 550 – 549 = 1$ ✓

ステップ3：一般解を公式で表す

$a = 275$、$b = 61$、$(p, q) = (2, -9)$ を代入：

$$ x = 2 + 61k, \quad y = -9 – 275k \quad (k \text{ は整数}) $$

確認（$k = 1$ の場合）：

$x = 63$、$y = -284$

$275 \times 63 + 61 \times (-284) = 17325 – 17324 = 1$ ✓

解答：

$$ \boxed{x = 61k + 2, \quad y = -275k – 9 \quad (k \text{ は整数})} $$

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問題158：$3x + 4y = 42$ を満たす正の整数解をすべて求める

ステップ1：互いに素か確認

GCD$(3, 4) = 1$ ✓

ステップ2：$y$ について解いて、$x$ を小さい値から試す

$$ y = \frac{42 – 3x}{4} $$

$y$ が整数になるには $(42 – 3x)$ が $4$ で割り切れる必要がある。$x$ に $0$ から順に代入する：

$x = 2$ のとき $y = 9$ → 特殊解：$(p, q) = (2,\ 9)$

確認： $3 \times 2 + 4 \times 9 = 6 + 36 = 42$ ✓

ステップ3：一般解を書く

$a = 3$、$b = 4$、$(p, q) = (2, 9)$：

$$ x = 2 + 4k, \quad y = 9 – 3k \quad (k \text{ は整数}) $$

ステップ4：「正の整数」という条件を加える

$x > 0$ かつ $y > 0$ を $k$ に課します。

$$ x > 0 \implies 2 + 4k > 0 \implies k > -\frac{1}{2} \implies k \geq 0 $$

$$ y > 0 \implies 9 – 3k > 0 \implies k < 3 \implies k \leq 2 $$

よって $k = 0, 1, 2$ の $3$ 通り：

（$k = 3$ では $y = 0$、$k = -1$ では $x = -2$、ともに正の整数でないので不適）

解答：

$$ \boxed{(x, y) = (2, 9),\ (6, 6),\ (10, 3)} $$

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【まとめ】1次不定方程式の3パターンを整理する

共通の手順：

1. $a$ と $b$ の最大公約数が $1$ を確認する
2. 特殊解 $(p, q)$ を1つ求める：$y = \dfrac{c-ax}{b}$ に $x=0,1,2,\ldots$ を代入して探す
3. 一般解：$x = p + bk$、$y = q – ak$（$k$ は整数）

パターンごとの追加操作：

よくあるミス：

• 問題158で $x \geq 0$ や $y \geq 0$（$0$ を含む）にしてしまう → 「正の整数」は $x > 0$、$y > 0$
• 一般解の係数が $b$ と $-a$ になることを逆にする（$x$ の $k$ 係数が $b$、$y$ の $k$ 係数が $-a$）

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【解き直しのすすめ】「わかった」から「解ける」へ

「解説を読んでわかった！」と「自分で解ける」は全くの別物です。

特に問題157は $x = 0, 1, 2$ と試すだけで特殊解が見つかりますが、一度手を動かして体に覚えさせることが大切です。

解き直しアクション：

1. この解説を閉じて、156・157・158を何も見ずに解いてみてください。
2. 問題157で「$x$ に何を代入すると $y$ が整数になるか」をスムーズに言えるか確認しましょう。
3. 解けたら $5x + 3y = 41$ を満たす正の整数解をすべて求めてみてください。

明日、何も見ずにこの問題が解けるかテストしてみてください。それが本当の実力です。

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【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】

□ 問題：1次不定方程式の一般解の公式は？

□ 答：$ax + by = c$ の特殊解を $(p, q)$ とすると、一般解は $x = p + bk$、$y = q – ak$（$k$ は整数）。

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□ 問題：$14 \times 5 + 23 \times (-3) = \square$

□ 答：$1$。$70 – 69 = 1$。問題156の特殊解です。

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□ 問題：問題157 で $y = \dfrac{1-275x}{61}$ に $x=2$ を代入すると $y = \square$

□ 答：$-9$。$(1 – 275 \times 2) \div 61 = -549 \div 61 = -9$。

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□ 問題：問題157 の特殊解 $(p, q)$ はいくつですか？

□ 答：$(2, -9)$。$275 \times 2 + 61 \times (-9) = 550 – 549 = 1$。

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□ 問題：問題157 のすべての整数解は？

□ 答：$x = 61k + 2$、$y = -275k – 9$（$k$ は整数）。

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□ 問題：問題158 の特殊解は？

□ 答：$(2, 9)$。$3 \times 2 + 4 \times 9 = 6 + 36 = 42$。

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□ 問題：問題158 の一般解は？

□ 答：$x = 2 + 4k$、$y = 9 – 3k$（$k$ は整数）。

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□ 問題：問題158 で「正の整数」条件を課すと $k$ の範囲は？

□ 答：$x > 0$ より $k \geq 0$、$y > 0$ より $k \leq 2$。よって $k = 0, 1, 2$。

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□ 問題：問題158 の正の整数解をすべて答えてください。

□ 答：$(x, y) = (2, 9),\ (6, 6),\ (10, 3)$ の $3$ 組。

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□ 問題：「1次不定方程式 $ax + by = c$ の整数解が存在する条件」は？

□ 答：$a$ と $b$ が互いに素（GCD$(a, b) = 1$）であること。このとき任意の整数 $c$ に対して解が存在します。

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□ 問題：問題157 で $x=0,1,2$ を試したとき、最初に $y$ が整数になるのは $x=\square$

□ 答：$x=2$。$1-275\times2=-549$、$-549\div61=-9$（整数）。

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【友達に教えてあげよう】

「$275x + 61y = 1$ の全整数解って、どこから手をつけるの？」と途方に暮れている友達、周りにいませんか？

この解説を読んだあなたは、もう「$y = \dfrac{1-275x}{61}$ に $x=0,1,2,\ldots$ を代入して $y$ が整数になる $x$ を探せば特殊解が求まり、あとは公式で一般解を書くだけ」という武器を持っています。

「人に教えるつもりで解く」のは、ラーニングピラミッドの中で最も記憶定着率の高い学習法です。友達に「$x=2$ を代入すると $y=-9$ が出て、$275\times2+61\times(-9)=1$ になるよ」と実況しながら教えてみてください。説明できたとき、本物の理解になります。

もし同じ単元で詰まっている友達がいたら、このページのURLを送ってあげてください。あなたの一言が、友達の「わからない」を「わかった！」に変えるかもしれません。