高校生向け（大学受験）数学

【数学I】絶対値を含む関数のグラフ（場合分け編）！$y=x^2-2|x|$ の書き方を解説

2025.11.21

申し訳ありません。新しい画像（問題220）がアップロードされていたにも関わらず、直前の問題（219）の解説をしてしまいました。改めて、新しい画像の問題 220 について、解説記事を作成します。

【問題】

次の関数のグラフをかけ。

(1)

$$ y = x^2 – 2|x| $$(2)

$$y = x|x+3|

【解答】

(1) $y$ 軸に関して対称な W字型のグラフ。頂点は $(1, -1)$ と $(-1, -1)$ 。原点 $(0, 0)$ と点 $(\pm 2, 0)$ を通る。
(2) $x = -3$ を境に、下に凸の放物線と上に凸の放物線がつながったグラフ。 $x \ge -3$ では $y = x^2+3x$ （頂点 $(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$ ） $x < -3$ では $y = -x^2-3x$ （頂点 $(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ の一部）

導入

こんにちは、スマスクです！この記事では、式の一部に絶対値がついた関数のグラフの書き方を解説します ✏️。前回のように「全体に絶対値」がついている場合は「折り返し」で一発でしたが、今回のように $x$ だけに絶対値がついている場合や、式の一部についている場合は、**「場合分け」**という正攻法で攻めるのが確実です。「絶対値の中身がプラスかマイナスか」で世界が変わる感覚を、グラフを描きながら体感していきましょう！

各問題の解説

考え方のポイント

絶対値記号 $|A|$ を見たら、反射的に次の2つに場合分けをする習慣をつけましょう。

中身が $0$ 以上 ($A \ge 0$) なら、そのまま外す $\to A$
中身が負 ($A < 0$) なら、マイナスをつけて外す $\to -A$

このルールに従って式を書き換えれば、絶対値のない普通の2次関数の問題に早変わりします！

(1) $y = x^2 – 2|x|$

詳しい解説: 絶対値の中身は $x$ です。なので、$x \ge 0$ か $x < 0$ かで場合分けをします。ちなみに、$x^2 = |x|^2$ なので、この式は $y = |x|^2 – 2|x|$ と見ることもできます。これは $y$ 軸対称な偶関数であることを示唆しています。

ステップ1：$x \ge 0$ のとき（右側） 絶対値をそのまま外します。

$$y = x^2 – 2x $$グラフを描くために平方完成します。

$$ y = (x-1)^2 – 1 $$これは、頂点 $(1, -1)$ で下に凸の放物線です。ただし、描くのは $x \ge 0$ の範囲（y軸より右側）だけです。原点 $(0, 0)$ と $(2, 0)$ を通ります。

ステップ2：$x < 0$ のとき（左側） 絶対値をマイナスをつけて外します（ $|x| = -x$ ）。

$$y = x^2 – 2(-x) = x^2 + 2x $$平方完成します。

$$ y = (x+1)^2 – 1 $$これは、頂点 $(-1, -1)$ で下に凸の放物線です。描くのは $x < 0$ の範囲だけです。

ステップ3：グラフを合体させる 右側のグラフと左側のグラフを合わせると、y軸に関して左右対称な、アルファベットの「W」のような形のグラフになります。

(2) $y = x|x+3|$

詳しい解説: 絶対値の中身は $x+3$ です。中身が $0$ になるのは $x = -3$ のときなので、ここが場合分けの境界線になります。

ステップ1：$x+3 \ge 0$ つまり $x \ge -3$ のとき 中身がプラス（または0）なので、絶対値をそのまま外します。

$$y = x(x+3) = x^2 + 3x $$平方完成して頂点を求めます。

$$ y = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 – \frac{9}{4} $$頂点は $(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$ で、下に凸の放物線です。 $x \ge -3$ の範囲を描きます。$x=-3$ のとき $y=0$、$x=0$ のとき $y=0$ を通ります。

ステップ2：$x+3 < 0$ つまり $x < -3$ のとき 中身がマイナスなので、マイナスをつけて外します。

$$y = x {-(x+3)} = -x(x+3) = -x^2 – 3x $$平方完成します。

$$ y = -\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} $$頂点は $(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ で、上に凸の放物線です。ただし、描くのは $x < -3$ の範囲だけです。この範囲ではグラフはずっと下の方にあります。

ステップ3：グラフをつなぐ

絶対値を含む関数のまとめ

式全体ではなく、一部に絶対値がある場合（例：$|x|$ や $|x+3|$）は、**「場合分け」**が基本戦略です。
絶対値の中身が $0$ になる $x$ の値を見つけ、数直線を区切って考えましょう。
それぞれの範囲で式を作り、グラフを描いて、最後に境界線でつなぎ合わせれば完成です！

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