【問題】
次の関数のグラフをかけ。 (1) $$y = |x-2|$$ (2) $$y = |3x+2|$$ (3) $$y = |x^2-4x|$$ (4) $$y = |x^2+3x-4|$$
【解答】
- (1) 頂点 $(2, 0)$ で折れ曲がるV字型のグラフ。 （$x \ge 2$ で $y=x-2$, $x < 2$ で $y=-x+2$）
- (2) 頂点 $(-\frac{2}{3}, 0)$ で折れ曲がるV字型のグラフ。 （$x \ge -\frac{2}{3}$ で $y=3x+2$, $x < -\frac{2}{3}$ で $y=-3x-2$）
- (3) 放物線 $y=x^2-4x$ の $x < 0, 4 < x$ の部分はそのまま、$0 \le x \le 4$ の部分をx軸に関して対称に折り返したグラフ。
- (4) 放物線 $y=x^2+3x-4$ の $x < -4, 1 < x$ の部分はそのまま、$-4 \le x \le 1$ の部分をx軸に関して対称に折り返したグラフ。
導入
こんにちは、スマスクです！ この記事では、絶対値記号を含む関数のグラフの書き方について解説します 📈。 絶対値がつくと難しそうに見えますが、やることはシンプルです。 「中身がプラスならそのまま、マイナスならマイナスをつけて外す」 これだけです！ さらに、グラフ全体に絶対値がついている場合は、もっと簡単な裏ワザ的な書き方があります。 1次関数と2次関数の両方のパターンで、そのコツを掴んでいきましょう！
各問題の解説
考え方のポイント
関数全体に絶対値がついている $y = |f(x)|$ のグラフを書くには、2つの方法があります。
-
場合分けをする（基本）: 絶対値の中身 $f(x)$ が正のときと負のときで場合分けをして、式を外します。
- $f(x) \ge 0$ のとき $\to y = f(x)$
- $f(x) < 0$ のとき $\to y = -f(x)$
-
折り返す（視覚的）: まず絶対値がない $y = f(x)$ のグラフを薄く描きます。そして、x軸より下にある部分を、x軸を鏡にして上に折り返すだけで完成です！
今回は、より直感的で簡単な「折り返し」の考え方を中心に解説します。
(1) $y = |x-2|$
詳しい解説: ステップ1：中身のグラフを描く まず、絶対値を無視した直線 $y = x-2$ を考えます。 これは、傾き1、y切片-2の直線で、x軸とは $x=2$ で交わります。
ステップ2：x軸より下を折り返す この直線のうち、x軸より下にある部分（つまり $x < 2$ の部分）を、パタンと上に折り返します。
- $x \ge 2$ の部分はそのまま $y = x-2$
- $x < 2$ の部分は符号が変わって $y = -(x-2) = -x+2$
これで、点 $(2, 0)$ で折れ曲がったV字型のグラフになります。
答え: 点 $(2, 0)$ を頂点とするV字型のグラフ
(2) $y = |3x+2|$
詳しい解説: ステップ1：中身のグラフを描く 直線 $y = 3x+2$ を考えます。 x軸との交点は、$3x+2=0$ より $x = -\frac{2}{3}$ です。
ステップ2：x軸より下を折り返す 点 $(-\frac{2}{3}, 0)$ を境にして、x軸より下にある左側の部分を上に折り返します。
- $x \ge -\frac{2}{3}$ のときは $y = 3x+2$
- $x < -\frac{2}{3}$ のときは $y = -(3x+2) = -3x-2$
答え: 点 $(-\frac{2}{3}, 0)$ を頂点とするV字型のグラフ
(3) $y = |x^2-4x|$
詳しい解説: ステップ1：中身の放物線を描く まず、$y = x^2-4x$ のグラフを描きます。 $x^2-4x = x(x-4)$ なので、x軸との交点は $x=0$ と $x=4$ です。 また、平方完成すると $y=(x-2)^2-4$ なので、頂点は $(2, -4)$ の下に凸な放物線です。
ステップ2：x軸より下を折り返す この放物線のうち、x軸より下にあるのは $0 < x < 4$ の部分です。 この部分を上に折り返します。 元の頂点 $(2, -4)$ は、折り返されて $(2, 4)$ になります。 $x \le 0, 4 \le x$ の部分は元のままです。
答え: $0 \le x \le 4$ の山型部分（頂点 $(2, 4)$）と、その両側の曲線からなるW字のようなグラフ
(4) $y = |x^2+3x-4|$
詳しい解説: ステップ1：中身の放物線を描く $y = x^2+3x-4$ のグラフを描きます。 因数分解すると $(x+4)(x-1)$ なので、x軸との交点は $x=-4$ と $x=1$ です。 頂点のx座標は、交点の真ん中なので $x = \frac{-4+1}{2} = -\frac{3}{2}$ です。 頂点のy座標は代入して計算すると、$(-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) – 4 = \frac{9}{4} – \frac{9}{2} – 4 = -\frac{25}{4}$ となります。
ステップ2：x軸より下を折り返す x軸より下にある $-4 < x < 1$ の部分を上に折り返します。 元の頂点 $(-\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$ は、折り返されて $(-\frac{3}{2}, \frac{25}{4})$ になります。
答え: $-4 \le x \le 1$ の山型部分（頂点 $(-\frac{3}{2}, \frac{25}{4})$）と、その両側の曲線からなるグラフ
絶対値グラフのまとめ
- 全体に絶対値がついた $y=|f(x)|$ のグラフは、**「折り返し」**で描くのが一番早いです 🚀。
- まず中身の $y=f(x)$ のグラフを描きます（x軸との交点を必ずチェック！）。
- x軸より下にはみ出た部分を、x軸を鏡にして上に折り返します。これだけで完成です ✨。
- 記述式の問題などで式が必要な場合は、中身が正か負かで場合分けをして式を書きましょう。
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