【問題】 空間ベクトルの内積と三角形の面積
次の問題を解説します。まずは問題文を確認しましょう。
$$ A\left( 3, 2, 4 \right), B\left( 3, -1, 1 \right), C\left( 5, 3, -3 \right) \text{とする。} $$
$$ \triangle ABC \text{において、次のものを求めよ。} $$
$$ (1) \quad \vec{AB} \cdot \vec{AC} $$
$$ (2) \quad \cos A $$
$$ (3) \quad \triangle ABC \text{の面積} $$
【重要】 解説を読む前に、まずは紙とペンを用意して、自分自身の力で解いてみましょう。「見ればわかる」と「自力で解ける」は全く別物です。
解き終わりましたか？あるいは、どうしても手が動かない状態ですか？ それでは、解説を始めます。
【解説】 空間ベクトルの成分計算と面積公式の活用
こんにちは、スマスクの数学講師です。
今回は「空間ベクトル」に関する標準的な問題です。 空間ベクトルと聞くと、$z$成分が増えるだけで急に難しく感じる生徒さんが多いのですが、実はやるべき計算は平面ベクトルの時とほとんど変わりません。
この問題は、座標から成分を求め、内積、なす角（コサイン）、そして面積へとつなげる、ベクトル分野における「王道の流れ」です。入試や定期テストでも非常によく出るパターンですので、計算ミスなく完答できるようにしっかり押さえておきましょう。
(1) ベクトルの成分と内積
まずは、2つのベクトルの成分を求め、そこから内積を計算します。
座標が与えられている場合、ベクトルの成分は「終点 － 始点」で求められますね。
まず、$\vec{AB}$ の成分を求めます。
$$ \vec{AB} = \left( 3-3, -1-2, 1-4 \right) $$
$$ \vec{AB} = \left( 0, -3, -3 \right) $$
次に、$\vec{AC}$ の成分を求めます。
$$ \vec{AC} = \left( 5-3, 3-2, -3-4 \right) $$
$$ \vec{AC} = \left( 2, 1, -7 \right) $$
成分がわかったので、内積 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ を計算しましょう。 空間ベクトルの内積は、「$x$同士、$y$同士、$z$同士を掛けて足す」です。
$$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \times 2 + \left( -3 \right) \times 1 + \left( -3 \right) \times \left( -7 \right) $$
$$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 – 3 + 21 $$
$$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 18 $$
これで(1)の答えが出ました。符号のミスに注意しましょう。
(2) なす角 $\cos A$ の計算
次に $\cos A$ を求めます。ここで使うのは「ベクトルの内積の定義式」を変形した以下の公式です。
$$ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\left| \vec{AB} \right| \left| \vec{AC} \right|} $$
分子の内積は(1)で求めた「18」を使います。 分母に必要な、それぞれのベクトルの大きさ（長さ）を計算しましょう。
$$ \left| \vec{AB} \right| = \sqrt{0^2 + \left( -3 \right)^2 + \left( -3 \right)^2} $$
$$ \left| \vec{AB} \right| = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$
$$ \left| \vec{AC} \right| = \sqrt{2^2 + 1^2 + \left( -7 \right)^2} $$
$$ \left| \vec{AC} \right| = \sqrt{4 + 1 + 49} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} $$
これらを公式に代入します。
$$ \cos A = \frac{18}{3\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}} $$
分母を計算します。$3 \times 3 = 9$、$\sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ なので、
$$ \cos A = \frac{18}{9 \times 2\sqrt{3}} = \frac{18}{18\sqrt{3}} $$
$$ \cos A = \frac{1}{\sqrt{3}} $$
有利化して $\frac{\sqrt{3}}{3}$ としても正解ですが、後の計算で二乗することを見越して、このままでも大丈夫です。
(3) 三角形の面積
最後に $\triangle ABC$ の面積を求めます。 三角形の面積公式といえば、数学Iの三角比で習ったこれですね。
$$ S = \frac{1}{2}bc \sin A \quad \left( \text{ベクトル表記なら } S = \frac{1}{2}\left| \vec{AB} \right| \left| \vec{AC} \right| \sin A \right) $$
(2)で $\cos A$ がわかっているので、相互関係 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を使って $\sin A$ を求めます。 $0^\circ < A 0$ なので、
$$ \sin A = \sqrt{1 – \cos^2 A} $$
$$ \sin A = \sqrt{1 – \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2} = \sqrt{1 – \frac{1}{3}} $$
$$ \sin A = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$
準備が整いました。面積公式に代入して計算します。
$$ \triangle ABC = \frac{1}{2} \times \left| \vec{AB} \right| \times \left| \vec{AC} \right| \times \sin A $$
$$ \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times 3\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{6}}{3} $$
約分しながら丁寧に計算しましょう。
$$ \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{6} $$
$$ \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times 6 $$
$$ \triangle ABC = 3\sqrt{2} \times 3 $$
$$ \triangle ABC = 9\sqrt{2} $$
これが答えです。
別解：ベクトルによる面積公式
成分がわかっている場合、以下の公式を使って一発で出すことも可能です。検算用に覚えておくと便利ですよ。
$$ S = \frac{1}{2}\sqrt{\left| \vec{AB} \right|^2 \left| \vec{AC} \right|^2 – \left( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \right)^2} $$
$$ S = \frac{1}{2}\sqrt{18 \times 54 – 18^2} $$
計算すると同じく $9\sqrt{2}$ になります。
【解答】 空間ベクトルの計算結果
$$ (1) \quad 18 $$
$$ (2) \quad \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \left( \text{または } \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $$
$$ (3) \quad 9\sqrt{2} $$
まとめ & 空間ベクトルの学習ポイント
- 成分計算: 「終点－始点」を確実に。符号ミスに注意。
- 内積: 成分同士を掛けて足す。
- なす角: 内積の定義式を変形して $\cos \theta$ を求める。
- 面積: $\cos$ から $\sin$ を出し、$\frac{1}{2}bc\sin A$ の公式へつなげる。
【解き直しのすすめ】 わかったつもりで終わらせないで！
解説を読んで「なるほど、計算するだけか」と納得していませんか？
長年指導してきて痛感することですが、この単元は「式はわかるけれど、計算の途中で数字が合わなくなる」という生徒さんが本当に多いんです。特にルートの計算や約分でミスが出やすいです。
「理解した」ことと「自力で正解できる」ことは違います。
今すぐこの画面を閉じて、真っ白な紙に最初から最後まで、自分の力だけで計算しきってみてください。 答えの $9\sqrt{2}$ に一発で辿り着けたら、あなたの実力は本物です。
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