【問題】 1の3乗根 $\omega$（オメガ）の性質と計算
まずは、今回の問題文を確認しましょう。
$$ 159 \quad 1 \text{ の } 3 \text{ 乗根のうち、虚数であるものの } 1 \text{ つを } \omega \text{ とする。このとき、} $$$$ \omega^2 + \omega = \boxed{\text{ア}}, \quad \omega^{10} + \omega^5 = \boxed{\text{イ}}, \quad \frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = \boxed{\text{ウ}}, $$$$ \left( \omega^2 + 5\omega \right)^2 + \left( 5\omega^2 + \omega \right)^2 = \boxed{\text{エ}} \text{ である。（関西大）} $$
【重要：学習の効果を最大化するために】 解説を読む前に、まずは自分自身の力でペンを動かして解いてみてください。 「$\omega$ の問題か…」と身構える必要はありません。たった2つの基本性質を使うだけで、驚くほどスルスルと解けるようになりますよ。
…解けましたか？あるいは、どこかで手が止まってしまいましたか？ それでは、思考のプロセスから丁寧に解説していきます。
ちゃんと自分の力で解いてみましたか？
【解説】 $\omega$ の性質を利用した式の値の計算
こんにちは、スマスクの数学講師です。
今回は「1の3乗根 $\omega$（オメガ）」に関する問題です。 この $\omega$ という記号、見ただけで「難しそう…」とアレルギー反応を起こす生徒さんが多いのですが、実は**入試数学における屈指の「得点源」**なんです。
なぜなら、覚えるべき性質は以下の2つだけだからです。
【$\omega$ の2大性質】
- 3乗すると1になる: $\omega^3 = 1$
- 2次方程式の解である: $\omega^2 + \omega + 1 = 0$
この2つの式を組み合わせるだけで、どんなに複雑に見える高次式も、あっという間に簡単な1次式や定数に変身します。まるでパズルのような面白さがあるんですよ。
では、実際に問題を解きながら、この威力を体感していきましょう。
(ア) $\omega^2 + \omega$ の値
まずは基本の確認です。 $\omega$ は $x^3 = 1$ の虚数解なので、$x^3 – 1 = 0$ を因数分解した式
$$ \left( x – 1 \right)\left( x^2 + x + 1 \right) = 0 $$のうち、虚数解が出る方、つまり $x^2 + x + 1 = 0$ の解です。 よって、以下の等式が成り立ちます。
$$\omega^2 + \omega + 1 = 0 $$この式の $1$ を右辺に移項するだけで答えが出ますね。
$$ \omega^2 + \omega = -1 $$これが答えです。
(イ) $\omega^{10} + \omega^5$ の値
次は次数が高い計算です。「10乗」なんてまともに計算したくないですよね？ ここで登場するのが、もう一つの性質 $\omega^3 = 1$ です。これを使って次数下げを行います。
$$\omega^{10} = \left( \omega^3 \right)^3 \cdot \omega = 1^3 \cdot \omega = \omega $$$$ \omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2 $$これらを元の式に代入すると、
$$ \omega^{10} + \omega^5 = \omega + \omega^2 $$これって、さっき(ア)で求めた式と同じ形ですよね？ 順番を入れ替えれば $\omega^2 + \omega$ なので、答えは同じく $-1$ です。
(ウ) $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$ の値
分数の形になっていますが、焦る必要はありません。(イ)の結果をうまく使いましょう。 分母にある $\omega^{10}$ と $\omega^5$ は、それぞれ $\omega$ と $\omega^2$ に変形できましたね。
$$\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + 1 $$このまま通分して計算しましょう。分母を $\omega^2$ で揃えます。
$$ \frac{\omega}{\omega^2} + \frac{1}{\omega^2} + \frac{\omega^2}{\omega^2} = \frac{\omega^2 + \omega + 1}{\omega^2} $$ここで分子に注目してください！ $\omega^2 + \omega + 1$ という形が出てきました。性質2より、この値は $0$ ですね。
$$\frac{0}{\omega^2} = 0 $$よって、答えは $0$ です。
(エ) $\left( \omega^2 + 5\omega \right)^2 + \left( 5\omega^2 + \omega \right)^2$ の値
最後は少し複雑に見える計算です。 このまま展開しても解けますが、計算ミスを防ぐために、カッコの中身を**できるだけ簡単にしてから（次数を下げてから）**計算するのが鉄則です。
まず、$\omega^2 = – \omega – 1$ を利用して、2次を1次に下げてみましょう。
第1項の中身：
$$ \omega^2 + 5\omega = \left( -\omega – 1 \right) + 5\omega = 4\omega – 1 $$第2項の中身：
$$5\omega^2 + \omega = 5\left( -\omega – 1 \right) + \omega = -5\omega – 5 + \omega = -4\omega – 5 $$これらを元の式に戻して展開します。
$$ \left( 4\omega – 1 \right)^2 + \left( -4\omega – 5 \right)^2 $$$$ = \left( 16\omega^2 – 8\omega + 1 \right) + \left( 16\omega^2 + 40\omega + 25 \right) $$同類項をまとめます。
$$= 32\omega^2 + 32\omega + 26 $$ここで $32$ でくくると、またあの形が見えてきます。
$$ = 32\left( \omega^2 + \omega \right) + 26 $$(ア)より $\omega^2 + \omega = -1$ なので、
$$= 32 \times \left( -1 \right) + 26 $$$$ \= -32 + 26 = -6 $$これが答えです。
【解答】
$$ 1 \text{ の } 3 \text{ 乗根 } \omega \text{ は } x^2 + x + 1 = 0 \text{ の解であるから、} $$$$ \omega^2 + \omega + 1 = 0 \quad \text{すなわち} \quad \omega^2 + \omega = -1 $$$$ \text{したがって } \boxed{\text{ア}} : -1 $$$$ \text{また、} \omega^3 = 1 \text{ であるから、} $$$$ \omega^{10} = \left( \omega^3 \right)^3 \cdot \omega = \omega, \quad \omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2 $$$$ \text{よって } \omega^{10} + \omega^5 = \omega + \omega^2 = -1 $$$$ \text{したがって } \boxed{\text{イ}} : -1 $$$$ \frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + 1 = \frac{\omega + 1 + \omega^2}{\omega^2} = \frac{0}{\omega^2} = 0 $$$$ \text{したがって } \boxed{\text{ウ}} : 0 $$$$ \left( \omega^2 + 5\omega \right)^2 + \left( 5\omega^2 + \omega \right)^2 $$$$ = \left{ \left( -\omega – 1 \right) + 5\omega \right}^2 + \left{ 5\left( -\omega – 1 \right) + \omega \right}^2 $$$$ = \left( 4\omega – 1 \right)^2 + \left( -4\omega – 5 \right)^2 $$$$ = \left( 16\omega^2 – 8\omega + 1 \right) + \left( 16\omega^2 + 40\omega + 25 \right) $$$$ = 32\omega^2 + 32\omega + 26 $$$$ = 32\left( \omega^2 + \omega \right) + 26 $$$$ = 32\left( -1 \right) + 26 = -6 $$$$ \text{したがって } \boxed{\text{エ}} : -6 $$
まとめ & $\omega$ 問題攻略のポイント
- 2つの性質を暗記: $\omega^3 = 1$ と $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ はセットで即座に出てくるようにしましょう。
- 次数下げ: 次数が3以上のときは $\omega^3=1$ を使って次数を下げます。
- 形の発見: $\omega^2 + \omega$ や $\omega^2 + \omega + 1$ の形を積極的に作り出し、$-1$ や $0$ に置き換えて式をシンプルにします。
- 展開前の工夫: カッコの2乗などは、中身を簡単にしてから（次数を下げてから）展開すると計算量が減り、ミスも防げます。
【解き直しのすすめ】 実際に手を動かして「定着」させる
解説を読んで「なるほど、簡単だ」と思えましたか？ その感覚はとても大切ですが、それだけではテストで点数は取れません。
実際に(エ)の計算を自分の手でやってみると、「あれ、ここどう変形するんだっけ？」と手が止まる瞬間があるはずです。特に、途中で次数下げを行うタイミングや符号のミスは、自分で解いてみないと気づけません。
今すぐこのページを閉じて、問題文だけを見て、最後のエまで自力で解き切ってみてください。それができれば、この単元は完璧です！
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メタディスクリプション 1の3乗根オメガ($\omega$)の性質を使った計算問題（関西大）をプロ講師がわかりやすく解説。$\omega^3=1$と$\omega^2+\omega+1=0$の使い方、次数下げのテクニックを完全網羅。
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- image_926bb7.png: 数学IIの複素数問題。1の3乗根オメガに関する式の値を求める問題（関西大学）。
YouTube概要欄 「$\omega$（オメガ）」が出てくると解く気が失せる…そんなあなたへ。 実はオメガの問題は、たった2つのルールを覚えるだけの「ボーナスステージ」なんです！ 今回は関西大学の入試問題を題材に、計算を劇的に簡単にするテクニックを伝授します。
【目次】 0:00 オープニング 0:45 問題紹介 1:15 $\omega$ の重要性質2つ 2:00 (ア) 基本計算 2:40 (イ) 高次式の次数下げ 3:30 (ウ) 分数式の処理 4:30 (エ) 複雑な式の工夫して計算 6:00 今日のまとめ 6:40 解き直しのすすめ
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タイトル案
- YouTube: 【高校数学II】1の3乗根オメガ($\omega$)の計算は2つのルールで瞬殺できる！次数下げテクニックを徹底解説
- ブログ: 【1の3乗根オメガ】$\omega$の計算問題を完全攻略！$\omega^3=1$の使い方と次数下げのコツ（関西大学過去問解説）
