【問題】
次の条件を満たすように、定数 $a, b, c$ の値を、それぞれ定めよ。
(1) 2次不等式
$$x^2+bx+c>0$$ の解が
$$x<-2, \quad 1<x$$
(2) 2次不等式
$$ax^2+2x+c<0$$ の解が
$$-3<x<1$$
【解答】
-
(1) $$b=1, \quad c=-2$$
-
(2) $$a=1, \quad c=-3$$
導入
こんにちは、スマスクです！ この記事では、2次不等式の解から、元の不等式の係数（a, b, c）を決定する問題について解説します。 「不等式を解け」ではなく「解から元の式を作れ」という、逆転の発想が求められる問題です。 ポイントは、不等式の解とグラフの関係をイメージすること！ 「解がこうなるということは、グラフはこんな形で、x軸とここで交わるはずだよね？」 という風に考えていくと、自然と答えが見えてきますよ。一緒に見ていきましょう！
各問題の解説
考え方のポイント
2次不等式 $$ax^2+bx+c > 0$$ （または $<0$）の解が $$x < \alpha, \quad \beta < x$$ や $$\alpha < x < \beta$$ の形になるとき、2次方程式 $$ax^2+bx+c=0$$ は、必ず $x=\alpha, \beta$ を解に持ちます。
つまり、不等式の境界値（ $\alpha, \beta$ ）は、方程式の解（交点のx座標）と同じなのです。 これを利用して、解と係数の関係を使ったり、因数分解形から式を作ったりして係数を求めていきます。
(1) 解が $x<-2, 1<x$ となる場合
詳しい解説: ステップ1：不等式の解からグラフをイメージする 解が $$x<-2, \quad 1<x$$ となるのは、グラフが下に凸で、x軸と $-2$ と $1$ で交わり、不等号が $> 0$ （x軸より上）のときです。 問題の不等式は $$x^2+bx+c>0$$ で、$x^2$ の係数が $1$ （プラス）なので、確かに下に凸です。条件と合っていますね。
ステップ2：2次方程式の解として考える 境界値である $-2$ と $1$ は、2次方程式 $$x^2+bx+c=0$$ の2つの解になります。
ステップ3：解と係数の関係を使う 解が $-2, 1$ なので、解と係数の関係を利用します。
- 和: $(-2) + 1 = -\frac{b}{1} \quad \implies \quad -1 = -b \quad \implies \quad b = 1$
- 積: $(-2) \times 1 = \frac{c}{1} \quad \implies \quad -2 = c$
（別解）因数分解形から展開する 解が $-2, 1$ で $x^2$ の係数が1なので、元の式は次のように因数分解できるはずです。 $$(x+2)(x-1) > 0$$ これを展開すると、 $$x^2 + x – 2 > 0$$ 元の式 $$x^2+bx+c>0$$ と係数を比較すると、 $$b=1, \quad c=-2$$ となります。
答え: $$b=1, \quad c=-2$$
(2) 解が $-3<x<1$ となる場合
詳しい解説: ステップ1：不等式の解からグラフをイメージする 解が $$-3<x<1$$ のように「挟まれる形」になるのは、
- グラフが下に凸で、不等号が $< 0$ のとき
- グラフが上に凸で、不等号が $> 0$ のとき のどちらかです。 問題の不等式は $$ax^2+2x+c<0$$ で、不等号は $< 0$ です。したがって、グラフは下に凸でなければなりません。つまり、$a > 0$ という条件がつきます。
ステップ2：2次方程式の解として考える 境界値である $-3$ と $1$ は、2次方程式 $$ax^2+2x+c=0$$ の2つの解になります。
ステップ3：解と係数の関係を使う 解が $-3, 1$ なので、解と係数の関係を利用します。
- 和: $(-3) + 1 = -\frac{2}{a} \quad \implies \quad -2 = -\frac{2}{a} \quad \implies \quad a = 1$
- 積: $(-3) \times 1 = \frac{c}{a} \quad \implies \quad -3 = \frac{c}{1} \quad \implies \quad c = -3$
求めた $a=1$ は、$a>0$ の条件を満たしているのでOKです。
（別解）因数分解形から展開する 解が $-3, 1$ なので、不等式は $$a(x+3)(x-1) 0$） 展開すると、 $$a(x^2 + 2x – 3) < 0$$
$$ax^2 + 2ax – 3a < 0$$ 元の式 $$ax^2+2x+c<0$$ と係数を比較します。 $x$ の係数を比べると、 $$2a = 2 \quad \implies \quad a = 1$$ 定数項を比べると、 $$-3a = c$$ $a=1$ を代入して、 $$c = -3(1) = -3$$
答え: $$a=1, \quad c=-3$$
2次不等式の係数決定まとめ
- 2次不等式の解の境界値（ $\alpha, \beta$ ）は、対応する2次方程式の解と同じです。
- 係数を求めるには、**「解と係数の関係」を使うか、「 $(x-\alpha)(x-\beta)$ の形から展開」**する方法が有効です。
- 不等号の向きと解の範囲から、**$x^2$ の係数（ $a$ ）の符号（プラスかマイナスか）**を必ずチェックしましょう。
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