2つの単位ベクトル条件から|a⃗+b⃗|の最大値を求める｜横浜市立大【数C・ベクトル】

【問題】

$\vec{a}$、$\vec{b}$ を平面上のベクトルとする。$3\vec{a}+2\vec{b}$ と $2\vec{a}-3\vec{b}$ がともに単位ベクトルであるとき、ベクトル $\vec{a}+\vec{b}$ の大きさ $|\vec{a}+\vec{b}|$ の最大値を求めよ。

（横浜市立大）★★★

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まずは自力で解いてみてください。「$\vec{p} = 3\vec{a}+2\vec{b}$、$\vec{q} = 2\vec{a}-3\vec{b}$ とおいて $\vec{a}+\vec{b}$ を $\vec{p}$、$\vec{q}$ で表す」という方針が鍵です。自分の力で解きましたか？

では、いまから解説します。

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【解説と解答】「新しいベクトル」で置換して最大値を求める

導入：2つの条件を上手に使う方針

$3\vec{a}+2\vec{b}$ と $2\vec{a}-3\vec{b}$ がともに単位ベクトルという条件を、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の成分で書き下すと式が非常に複雑になります。

発想の転換： この2つを「新しいベクトル」と見なして置換します。

$$ \vec{p} = 3\vec{a}+2\vec{b}, \quad \vec{q} = 2\vec{a}-3\vec{b} $$

とおくと、条件は $|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1$ とシンプルになります。

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使う武器（公式・定理）

ベクトルの内積と大きさ：

$$ |\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} $$

$$ |s\vec{p}+t\vec{q}|^2 = s^2|\vec{p}|^2 + 2st\,\vec{p}\cdot\vec{q} + t^2|\vec{q}|^2 $$

コーシー・シュワルツの不等式（内積の範囲）：

$$ -|\vec{p}||\vec{q}| \leq \vec{p}\cdot\vec{q} \leq |\vec{p}||\vec{q}| $$

$|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1$ のとき：$-1 \leq \vec{p}\cdot\vec{q} \leq 1$

すでに知っている方は、思考のプロセスに進んでください。

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思考のプロセス（Step by Step）

ステップ1：$\vec{p}$、$\vec{q}$ から $\vec{a}+\vec{b}$ を表す

$$ \vec{p} = 3\vec{a}+2\vec{b} \quad \cdots (1) $$

$$ \vec{q} = 2\vec{a}-3\vec{b} \quad \cdots (2) $$

$(1) \times 3 + (2) \times 2$：

$$ 3\vec{p}+2\vec{q} = 13\vec{a} \implies \vec{a} = \frac{3\vec{p}+2\vec{q}}{13} $$

$(1) \times 2 – (2) \times 3$：

$$ 2\vec{p}-3\vec{q} = 13\vec{b} \implies \vec{b} = \frac{2\vec{p}-3\vec{q}}{13} $$

したがって：

$$ \vec{a}+\vec{b} = \frac{5\vec{p}-\vec{q}}{13} $$

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ステップ2：$|\vec{a}+\vec{b}|^2$ を $\vec{p}\cdot\vec{q}$ で表す

$$ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = \frac{|5\vec{p}-\vec{q}|^2}{169} = \frac{25|\vec{p}|^2 – 10\,\vec{p}\cdot\vec{q} + |\vec{q}|^2}{169} = \frac{26 – 10\,\vec{p}\cdot\vec{q}}{169} $$

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ステップ3：最大化

$-1 \leq \vec{p}\cdot\vec{q} \leq 1$ なので、$\vec{p}\cdot\vec{q} = -1$ のとき最大になります。

$$ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = \frac{26+10}{169} = \frac{36}{169} $$

$$ \boxed{|\vec{a}+\vec{b}|_{\max} = \frac{6}{13}} $$

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ステップ4：$\vec{p}\cdot\vec{q} = -1$ が達成されることを確認する

$\vec{p} = (1, 0)$、$\vec{q} = (-1, 0)$ のとき：

$$ \vec{a} = \frac{(1,0)}{13} = \left(\frac{1}{13},0\right), \quad \vec{b} = \left(\frac{5}{13},0\right) $$

確認：$|3\vec{a}+2\vec{b}| = |(1,0)| = 1$ ✓、$|2\vec{a}-3\vec{b}| = |(-1,0)| = 1$ ✓

$$ |\vec{a}+\vec{b}| = \left|\left(\frac{6}{13},0\right)\right| = \frac{6}{13} \quad \checkmark $$

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解答まとめ

$$ |\vec{a}+\vec{b}| \text{ の最大値} = \frac{6}{13} $$

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【まとめ】「新しい文字置換」が突破口

分母の $13$ は $3^2+2^2 = 13$ という係数の二乗和から来ています。

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【解き直しのすすめ】「わかった」から「解ける」へ

「解説を読んでわかった！」と「自分で解ける」は全くの別物です。

解き直しアクション：

1. $\vec{p}$、$\vec{q}$ の置換を自分で導けるか試してみてください。
2. 「$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を $\vec{p}$、$\vec{q}$ で表す連立方程式」をノートに書いてみてください。

明日、何も見ずにこの問題が解けるかテストしてみてください。それが本当の実力です。

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【最強の暗記法：絞り込みリコールシート】

□ 問題：$\vec{p} = 3\vec{a}+2\vec{b}$、$\vec{q} = 2\vec{a}-3\vec{b}$ から $\vec{a}$ を表す式は？

□ 答：$3\vec{p}+2\vec{q} = 13\vec{a}$ より $\vec{a} = \frac{3\vec{p}+2\vec{q}}{13}$。

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□ 問題：$\vec{a}+\vec{b}$ を $\vec{p}$、$\vec{q}$ で表すと？

□ 答：$\vec{a}+\vec{b} = \frac{5\vec{p}-\vec{q}}{13}$。

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□ 問題：$|\vec{a}+\vec{b}|^2$ を $\vec{p}\cdot\vec{q}$ で表すと？

□ 答：$\frac{26-10\,\vec{p}\cdot\vec{q}}{169}$。

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□ 問題：最大にするには $\vec{p}\cdot\vec{q}$ をどうする？

□ 答：最小（$= -1$）にする。

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□ 問題：$|\vec{a}+\vec{b}|$ の最大値は？

□ 答：$\sqrt{\frac{36}{169}} = \frac{6}{13}$。

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□ 問題：分母の $13$ はどこから来るか？

□ 答：$3^2+2^2 = 13$（係数の二乗和）から来ています。

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【友達に教えてあげよう】

「2つのベクトルがともに単位ベクトルという条件から、全然違うベクトルの大きさの最大値を求める問題ってどうやるの？」という友達、周りにいませんか？

この解説を読んだあなたは、もう「条件に出てくるベクトルを新文字で置換し、目標ベクトルを置換後の文字で表す」という確実な方針を持っています。

友達に「まず $\vec{p} = 3\vec{a}+2\vec{b}$、$\vec{q} = 2\vec{a}-3\vec{b}$ とおいてね。逆算すると $\vec{a}+\vec{b} = (5\vec{p}-\vec{q})/13$ になるから…」と説明してみてください。スラスラ説明できたとき、本物の理解になります。

もし同じ単元で詰まっている友達がいたら、このページのURLを送ってあげてください。